Последний уровень раздела предыдущего изложения   Текущий уровень изложения предыдущего раздела   Текущий уровень изложения следующего раздела   Первый уровень изложения следующего раздела   Уровень: Глоссарии:


Механическое движение тел

Повседневный опыт показывает: все, что мы наблюдаем находится в постоянном изменении. Это относится и к элементарным частицам, и к окружающим нас телам, и к далеким звездным системам. Любое изменение материи называется движением. В самом широком смысле под движением понимают все происходящие во Вселенной изменения и процессы, начиная от простого перемещения и кончая мышлением. Движение - основное, неотъемлемое, всеобщее, вечное свойство материи, способ ее существования.

Соответственно многообразию явлений природы существует и множество различных видов движения материи. К ним относятся механическая, тепловая, электромагнитная, химическая, биологическая, социальная и другие формы движений. В частности, под механическим движением понимают изменение положений тел относительно друг друга. Наука, охватывающая математические методы описания механических движений, называется механикой. Как часть физики, она состоит из трех наук: теоретической механики, квантовой механики и релятивистской механики.

Теоретическая механика описывает движения:
а) макроскопических тел;
a) со скоростями, значительно меньшими скорости света в пустоте.

Под макроскопическими понимают тела, состоящие из множества молекул. Движение вещества в виде отдельных молекул, атомов* , электронов* и т. п., описывает квантовая механика. Она является более общим разделом физики и включает в себя теоретическую механику как некоторый предельный случай.

В задачах теоретической механики рассматриваются движения со скоростями, намного меньшими скорости света в пустоте. Как известно, она равна 3*108 м/с. Движения со скоростями, близкими к скорости света, изучаются методами релятивистской механики, или же специальной теории относительности.

Структуру теоретической механики можно представить схемой, показанной на рис. 30.


Рис.30

Кинематика* охватывает методы описания механических движений с чисто геометрической точки зрения, без связи с причинами, которые вызывают эти движения или влияют на них. К основным понятиям кинематики относятся: кинематические уравнения, траектория, скорость, ускорение, угловая скорость, угловое ускорение. Из геометрии в кинематике широко используется понятие координат, из физики - понятие и свойства времени. В основе кинематики лежат геометрические методы и методы математического анализа* .

Кинетика* охватывает методы описания механических движений с учетом причин, которые вызывают эти движения или же влияют на них. Кинетика имеет аксиоматическое построение. Это означает, что все методы кинетики выводятся из некоторого числа исходных положений, принимаемых без доказательства. Допустимость последних проверяется соответствием полученных при этом результатов данным эксперимента.

Кинетика состоит из двух частей: статики* и динамики* . Методами статики изучается равновесие, а методами динамики - собственно движения. Основными понятиями статики являются: сила, момент силы, пара сил, момент пары, уравнения равновесия. В динамике используются все основные понятия и кинематики, и статики. Но здесь к ним добавляются понятия массы, момента инерции, количества движения, кинетического момента, кинетической энергии, работы силы. Из математических методов в статике используются алгебраические и геометрические, а в динамике - методы математического анализа и, в частности, теория дифференциальных уравнений. Решение современных задач теоретической механики тесно связано с компьютерным моделированием.

Различают следующие виды движений тел:

Если размеры движущегося тела так малы, что различием в движении его отдельных точек можно пренебречь, то все тело рассматривают как точку. О движении точки говорят и в случае исследования перемещения одной из геометрических точек какого-либо тела, которое в целом принять за точку нельзя.

Не вдаваясь в детали определений, поясним приведенную классификацию на примере движений спортсмена. В процессе прыжка с трамплина лыжник совершает поступательное движение (рис. 6, а). Примером вращательного движения вокруг оси является упражнение на перекладине, когда гимнаст делает оборот из положения в упоре стоя согнувшись (рис. 6, б). Плоское или плоскопараллельное движение относительно пола совершают все части тела гимнаста при выполнении упражнения, показанного на рис. 6, в. Примером вращения тела вокруг точки (сферического движения) может служить движение плеча фехтовальщика относительно его туловища (рис. 6, г). Очевидно, при выполнении прыжка в воду " полтора винта " все части тела спортсменки совершают произвольное движение (рис. 6, д).

В преобладающем большинстве конструкций, в которых используется механическое движение, необходимо обеспечить его передачу от одного тела к другому. Очень часто требуется также преобразовать один вид движения в другой. Совокупности тел, обеспечивающие подобные передачи и преобразования, называются механизмами. Механизмы состоят не только из твердых тел. Иногда в их состав входят электрические, гидравлические, пневматические устройства, а также устройства управления, например, микропроцессоры.

Каждое подвижное тело или группа тел, жестко связанных между собой и перемещающихся как одно целое, называется подвижным звеном механизма. Все неподвижные тела, обеспечивающие работу механизма, образуют одну жесткую неподвижную систему, называемую неподвижным звеном, или стойкой. Звенья механизма, от которых передаются движения, называются ведущими. Звенья механизма, движения которых однозначно определяются движениями ведущих звеньев, называются ведомыми.

Подвижное соединение двух звеньев называется кинематической парой. Способ соединения звеньев в паре накладывает соответствующее ограничение (связь) на относительное движение звеньев. Различают кинематические пары плоские и пространственные, низшие и высшие. У низших пар звенья соприкасаются по поверхности, у высших - по линиям или в точках. Очевидно, большинство кинематических пар в скелете человека являются пространственными, низшими.

Последовательное или разветвленное соединение ряда кинематических пар называется кинематической цепью. Кинематическая цепь, в которой конечное ведомое звено свободно, называется незамкнутой. В противном случае она называется замкнутой. Очевидно, конечности человека в свободном состоянии составляют незамкнутые кинематические цепи. Примером замкнутой кинематической цепи в теле человека является цепь, состоящая из грудины, ребра, позвоночника, ребра и снова грудины. Понятно, что любой механизм представляет собой кинематическую цепь, но далеко не каждая кинематическая цепь является механизмом. Механизм - это замкнутая кинематическая цепь, в которой при заданном движении одного или нескольких (ведущих) звеньев остальные звенья совершают движения, однозначно определяемые относительно звена, принятого за неподвижное (т. е. относительно стойки).

Изучение движения механизмов, а также их проектирование осуществляют с помощью кинематических схем. Так называют чертежи механизмов, выполненные в условных обозначениях и содержащие информацию о количестве звеньев механизма, их связях друг с другом, видах движения каждого звена.

Познакомимся со способами математического описания движений тел. Для краткости ограничимся рассмотрением лишь некоторых частных случаев, начав с движения точки.

Существует несколько способов описания движения точки: естественный, координатный, векторный. Первый из них связан с понятием траектории точки. Так называется множество всех ее положений, возможных при заданном движении. Понятно, что траекторией точки является непрерывная линия: плоская или пространственная, замкнутая или разомкнутая, прямая или кривая. Например, траекторией космического летательного аппарата при его движении вокруг Земли является эллипс - плоская замкнутая кривая линия. В частных случаях траекториями могут быть луч, отрезок, дуга окружности и т. п.

Предположим, что траекторией точки М является линия KL (рис. 31). Обозначим одну из ее точек буквой О и примем ее за начало отсчета. Каждой точке траектории поставим в соответствие число , равное по величине расстоянию от точки О до точки М, измеренному вдоль дуги траектории и взятому со знаком “плюс”, если точка М находится с одной стороны от точки О, и со знаком “минус”, если она находится на траектории с другой стороны.

Величина , введенная таким образом, называется дуговой координатой точки М. Очевидно, при движении величина непрерывно изменяется. Это изменение описывается равенством вида: = (t). Равенство, выражающее дуговую координату точки в виде явной функции времени, называется кинематическим уравнением движения точки в естественной форме (или в дуговых координатах).

В частном случае, когда точка перемещается вдоль прямой, например, вдоль оси Ox, для описания ее движения достаточно знать одно кинематическое уравнение: xм = xм(t).

Если точка М движется по плоскости и для определения ее положения с плоскостью связаны оси Ox и Oy, то движение точки М относительно этой плоскости описывают уравнениями вида

xм = xм(t), yм = yм(t).

где xм, yм - координаты точки М в системе отсчета Oxy.

Аналогично в случае непрямолинейного и неплоского движения точки М с телом, относительно которого рассматривается движение точки М, связывают тройку взаимно перпендикулярных точки осей Ox, Oy, Oz и движение точки М описывают уравнениями вида

xм = xм(t), yм = yм(t), zм = zм(t).

где xм, yм, zм - координаты точки М относительно системы отсчета Oxyz.

Равенства такого вида называются кинематическими уравнениями в декартовых координатах.

Одним из наиболее распространенных видов движений является вращение тела вокруг оси. Положение тела, вращающегося вокруг оси, задают углом поворота. Последний при движении тела является функцией времени. Равенство, выражающее угол поворота тела в виде явной функции времени, называется кинематическим уравнением вращения тела вокруг оси. В самом общем случае оно имеет вид:

= (t),

где - угол поворота тела. В частных случаях это уравнение может выражаться, например, равенствами:

= 0 t, = 1/2 t2 + 0 t, = 0 cos kt,

где , , , k - постоянные величины.

Существует несколько способов нахождения кинематических уравнений. К их числу относятся геометрический, динамический, экспериментальный. Опишем последний из них - экспериментальный. Он состоит в том, что сначала в определенные моменты времени с помощью измерительных устройств

(Для измерения координат движущегося объекта используются радиолокаторы, кинотеодолиты, оптические дальномеры, лазерные локаторы и тому подобные устройства. В инженерной практике очень часто применяются стробоскопическая фотосъемка и киносъемка, при необходимости, скоростная)

осуществляют измерение конкретных значений интересующей координаты. Затем производят математическую обработку полученной при этом информации и находят аналитическую зависимость координаты от времени. Последняя и является искомым кинематическим уравнением.

Предположим, что требуется найти кинематическое уравнение движения точки по координате , т. е. найти уравнение вида = (t). По результатам измерений множеству моментов времени {t1,t2,...,tn} поставим в соответствие множество значений координаты , которые обозначим { 1, 2,..., n}. Из физических соображений выберем вид аналитического выражения функции = (t). Например, если имеются основания предполагать, что точка движется равномерно, то кинематическое уравнение определяют в форме

= A0 + A1t,

где A0, A1 - постоянные величины. Если же имеются основания предполагать, что на интересующем промежутке времени движение точки является равноускоренным, то уравнение ищут в виде

= A0 + A1t+ A2t2, (1)

где A0, A1, A2 - постоянные величины. Очевидно, первый случай является частным случаем второго.

Коэффициенты типа A0, A1, A2 определяют с помощью математической обработки данных измерений. В частности, если уравнение строится в форме (1) и если промежутки времени между измерениями достаточно велики, а точность измерений приемлемо высока, то для определения коэффициентов A0, A1, A2 достаточно произвести три замера и решить систему трех алгебраических уравнений. Последняя имеет вид:

A0 + A1t1+ A2t12 = 1
A0 + A1t2 + A2t22 = 2
A0 + A1t3 + A2t32 = 3
где t1, t2, t3 - моменты времени, в которые производились измерения; 1, 2, 3 измеренные значения координаты.

Если время между замерами мало, а точность измерений недостаточна, то для определения коэффициентов кинематических уравнений используют различные вероятностные методы. Одним из них является метод наименьших квадратов. При его использовании принимают, что параметры функции = (t) выбраны наиболее достоверно, если сумма

S = i=1 n[ (ti) - i]2
минимальна. Здесь через i обозначено значение координаты , полученное при измерениях в момент времени ti, а через (ti) значение функции , вычисленное при выбранных значениях искомых коэффициентов.

Нетрудно показать (См., например, учебник: Вентцель Е.С. Теория вероятностей. М., 1984.-576 c.), что если кинематическое уравнение строится в форме (1), а промежутки времени между замерами равны, то коэффициенты A0, A1, A2 определяются системой:

A0n + A1 t i=1n (i-1) + A2 t2 i=1n (i-1)2 = i=1n i
A0 i=1n (i-1) + A1 t i=1n (i-1)2 + A2 t2 i=1n (i-1)3 = i=1n i(i-1) (2)
A0 i=1n(i-1)2 + A1 t i=1n(i-1)3 + A2 t2 i=1n (i-1)4 = i=1n i(i-1)2
где t - время между замерами.

Решение системы алгебраических уравнений вида (2) целесообразно осуществлять на компьютере, тем более, что для этого имеются соответствующие прикладные программы.

В качестве примера использования описанного метода рассмотрим движение тонкого стержня, брошенного в вертикальной плоскости. На фиг. 27 представлена фотография одного из таких экспериментов, выполненная стробоскопическим методом (Фотография исполнена и предоставлена автору Гриковым Г.В.). Используя масштаб, указанный на фигуре, и учитывая, что время между ближайшими регистрациями положения стержня составляло 0,0162 с, найдем кинематические уравнения движения средней точки стержня.

С помощью стробофотографии составим таблицу координат указанной точки. Получим массив данных вида:

Номер замера 1 2 ... 25
x(m) 0.05 0.10 ... 1.085
y(m) 0.15 0.18 ... 1.142

Исходя из физических соображений, будем искать кинематические уравнения в форме

x = A0 + A1 t + A2 t2, y = B0 + B1 t + B2 t2.

Это означает, что для определения коэффициентов: A0, A1, A2, B0, B1, B2 - надо дважды решить систему уравнений вида (2), полагая n = 25. Проведя вычисления на компьютере по стандартной программе обработки информации с использованием метода наименьших квадратов, для значений элементов множеств {x1,x2,...,x25} и {y1,y2,...,y25}, полученных при измерениях, определим:

A0 = 0,05 м, A1 = 2,93 м/с, A2 = -0,68 м/с2,
B0 = 0,15 м, B1 = 1,88 м/с, B2 = -4,89 м/с2.

Следовательно, кинематические уравнения движения средней точки стержня имеют вид

x = 0,05 + 2,93 t - 0,68 t2, y = 0,15 + 1,88 t - 4,89 t2,

где t измеряется в секундах, а x и y - в метрах.

Для характеристики быстроты движения точки вводится понятие скорости. Как известно, если точка совершает прямолинейное и равномерное движение, т. е. если ее траекторией является прямая линия и она за любые равные промежутки времени перемещается на одно и тоже расстояние, то скоростью точки называется отношение пути ко времени, за которое он был пройден. Предположим, что за промежуток времени t некоторая точка М, двигаясь прямолинейно, перешла из положения М1 в положение М2 (рис. 32). Тогда скорость точки М определится отношением перемещения М1М2 к t. Имеем

= M1M2/ t = (x2-x1)/ t = x/ t,

где x1 - абсцисса точки, соответствующая положению М1, x2 - абсцисса, соответствующая положению М2, x - приращение абсциссы за время t.

Так как перемещение есть вектор, то скорость точки является векторной величиной. Обозначив ее через , получим,

= M1M2/ t i = (x2-x1)/ t i = x/ t i,

где i - орт (единичный вектор) оси Ox.

Если движение точки не равномерно, то эта формула определяет так называемую среднюю скорость. Для характеристики быстроты движения точки в этом случае используется предел, к которому стремится средняя скорость при беспредельном уменьшении промежутка времени t.

= lim t =>0 ( x/ t i) = x' i,

где x' - первая производная от абсциссы по времени.

Можно показать, что если движение точки происходит по кривой и задано в естественной форме, то скорость точки выражается формулой

= ' t,

где ' - первая производная от дуговой координаты по времени, t - орт касательной к траектории.

Эта формула означает, что в случае, когда движение точки задано в естественной форме, для определения ее скорости необходимо:



  1. продифференцировать кинематическое уравнение движения точки один раз по времени;
  2. подставить в найденное выражение заданный момент времени и, взяв модуль полученного значения, вычислить абсолютную величину скорости;
  3. направить скорость по касательной к траектории в сторону увеличения значений дуговой координаты, если > 0, и в противоположную сторону, если < 0.


Как было отмечено, в теоретической механике изучаются движения не с любыми скоростями, а лишь со скоростями, которые по величине значительно меньше скорости света. Последняя равна 300 106 м/с. Для сравнения: скорость самолета - 0,0007 106 м/с, скорость искусственного спутника Земли - 0,0079 106 м/с, скорость электрона в электроннолучевой трубке - 70 106 м/с.

Вследствие того, что в большинстве практически важных задач скорости точек намного меньше скорости света, то с помощью методов теоретической механики изучают преобладающее большинство движений, происходящих вокруг нас.

Для характеристики быстроты изменения скорости точки вводится понятие ускорения. Можно показать, что, если движение точки задано в естественной форме, то ее ускорение выражается формулой

= " + 2/ ,

где - величина скорости точки, - радиус кривизны ее траектории, " - вторая производная от дуговой координаты по времени, - орт касательной и траектории, - орт нормали к ней.

Обозначим первое слагаемое в правой части этой формулы a, второе - an. Тогда ускорение точки выразится равенством

= a + an, где a = " , an = 2/

Полученное равенство говорит о том, что полное ускорение точки складывается из двух взаимно перпендикулярных компонент, из которых одна направлена по касательной к траектории, а вторая - по нормали к ней. Первая составляющая называется касательным, вторая - нормальным ускорением.

Из приведенных формул следует, что для определения ускорения точки в случае, когда ее движение задано в естественной форме, необходимо:

1) продифференцировать кинематическое уравнение движения точки дважды по времени и найти выражения s' и s ";
2) вычислить модуль нормального ускорения по формуле

n = 2 / = 2 /

3) вычислить модуль полного ускорения по формуле

= , где t = | "|;

4) направить касательное ускорение по касательной к траектории в сторону увеличения значений дуговой координаты, если > 0, и в противоположную сторону, если < 0;
5) направить нормальное ускорение по нормали к траектории в сторону ее вогнутости;
6) сложить касательное и нормальное ускорение геометрически, показав полное ускорение точки на рисунке или чертеже.

Множество различных движений точек классифицируется по двум признакам: в зависимости от характера изменения скорости по направлению и в зависимости от характера изменения скорости по величине.

По первому признаку движения разбиваются на два класса: прямолинейные и криволинейные. В первом случае направление скорости не меняется или меняется на прямо противоположное. Во втором случае направление скорости меняется непрерывно. Соответственно при прямолинейном движении нормальное ускорение точки равно нулю, при криволинейном - отлично от нуля и определяется формулой = 2/ , где - величина скорости точки, - радиус кривизны траектории.

В зависимости от характера изменения скорости точки по величине множество всех движений разбиваются на три класса: равномерные, равнопеременные и неравнопеременные движения. Движение относится к первому классу, если величина скорости постоянна, ко второму, если величина скорости пропорциональна времени, к третьему, если величина скорости и непостоянна, и непропорциональна времени. Соответственно в первом случае касательное ускорение равно нулю, а двух других - отлично от нуля, и модуль его определяется формулой: = | '|.

При равнопеременных движениях = const. Они, в свою очередь, делятся на два подкласса: равноускоренные и равнозамедленные движения. В первом случае величина скорости возрастает, во втором - убывает. При неравнопеременных движениях a const. Аналогично равнопеременным движениям этот класс делится на два подкласса: к первому относятся ускоренные движения, ко второму - замедленные.

Соотношения между основными кинематическими характеристиками равномерных, равнопеременных и неравнопеременных движений представлены в табл. 2.

Таблица 2

Вид движения точки Касательное ускорение Величина скорости Пройденный путь
равномерное a = 0 v = const s = v t
равнопеременное равноускоренное 2 v = v0 + a t s = v0t + 1/2 a t2
равнозамедленное v = v0 – a t s = v0t – 1/2 a t2
неравнопеременное ускоренное a const v = a dt s = v dt
замедленное

Основными кинематическими характеристиками тела, вращающегося вокруг оси. являются угловая скорость и угловое ускорение. Они определяются следующим образом.

Предположим, что тело вращается вокруг оси согласно уравнению = (t). Пусть за бесконечно малый промежуток времени t оно повернулось на угол . Очевидно, отношение к t характеризует быстроту движения тела. Но оно различно для разных t. Учитывая это, воспользуемся понятием предела, и для характеристики быстроты вращения тела будем использовать величину, определяемую формулой

lim t =>0 / t-= '.

Первая производная от угла поворота тела по времени называется угловой скоростью тела, вращающегося вокруг оси. Эту величину обычно обозначают греческой буквой . Согласно определению

= '.

Из последнего равенства следует, что единицей измерения угловой скорости является 1 рад/с. Очевидно, угловая скорость в зависимости от направления движения тела может быть, как положительной, так и отрицательной величиной.

Если зависимость угловой скорости от времени известна, т.е. известна функция = (t), то можно найти кинематическое уравнение вращения тела. Имеем:

= dt.

Предположим, что за промежуток времени Dt угловая скорость тела изменилась на величину Dw. Обозначая угловое ускорение через e, будем понимать под ним величину

lim t =>0 / t-= '.

Таким образом, угловым ускорением тела, вращающегося вокруг оси, называется первая производная от его угловой скорости по времени. Из этого определения следует, что единицей измерения углового ускорения в системе СИ является 1 рад/с2 и что для вычисления углового ускорения необходимо продифференцировать кинематическое уравнение вращения тела дважды по времени. Если зависимость углового ускорения от времени известна, т.е. известна функция = (t), то можно найти зависимость угловой скорости от времени. Имеем:

= dt.

В зависимости от характера движения угловое ускорение может быть положительной или отрицательной величиной, но оно может равняться и нулю. В связи с этим различают следующие виды вращательных движений: равномерное, равноускоренное, равнозамедленное, ускоренное, замедленное. Их основные характеристики представлены в табл.3

Таблица 3.

Вид вращательного движения Угловое ускорение Угловая скорость Угол поворота
Равномерное = 0 = const = t
Равнопеременное Равноускоренное sign = sign
= const 0
sign sign
| | возрастает
= 0 + t
| | убывает
= 0 + 0 t + t2/2
Равнозамедленное
Неравнопеременное ускоренное sign = sign
const
sign sign
| | возрастает
= dt
| | убывает
= dt
замедленное

На практике очень часто быстроту равнопеременного вращательного движения тела характеризуют числом оборотов в минуту. Последнее обозначают через h. Очевидно, оно связано с угловой скоростью тела формулой

= /30

Представляет интерес численное значение величины h для некоторых тел. Например, дискета компьютера делает 400 об/мин., а ротор ультрацентрифуги может быть разогнан до скорости 72 тыс. оборотов в минуту.

Найдем выражения скорости, касательного, нормального и полного ускорений произвольной точки М, принадлежащей телу В, которое вращается вокруг оси. Так как по предположению тело твердое, то расстояния между любыми его точками постоянны. Это означает, что при вращении тела В удаление точки М от оси вращения z не меняется. Следовательно, траекторией точки М является окружность, у которой радиус равен расстоянию между точкой М и осью z. Обозначим его через r. Покажем на рисунке траекторию точки М и нанесем обозначения ее скорости, касательного, нормального и полного ускорений. При этом будем предполагать, что тело В вращается ускоренно. Выразим величины v, a, an, a через w и e.

Для этого воспользуемся формулами:

= | |, = | |, n = 2/ , =


где s - дуговая координата точки М. Обозначив приращение за бесконечно малый промежуток времени t через (фиг. 49), получим:

= | | = |lim / t| = lim | |/ t = lim | |/ t = r | |,
| | = | |,
= | | = | |

Окончательно

= | |, = | |, = 2, n= (10)

Таким образом, скорость, касательное, нормальное и полное ускорения точек тела, вращающегося вокруг оси, пропорциональны удалениям их от оси вращения. Коэффициентами пропорциональности являются: модуль угловой скорости, модуль углового ускорения, квадрат угловой скорости и . Все названные векторные величины располагаются в плоскости, перпендикулярной оси вращения тела, причем скорость и касательное ускорение перпендикулярны направлению от точки к оси вращения, а нормальное ускорение совпадает с этим направлением. При ускоренном движении касательное ускорение направлено в ту же сторону, что и скорость, а при замедленном - противоположно ей.