Предыдущий уровень изложения текущего раздела   Текущий уровень изложения предыдущего раздела   Неактивно   Неактивно   Уровень:


Скорость и ускорение точки в полярных координатах

Пример. Даны уравнения движения точки в полярных координатах (r - в метрах; - в радианах; t - в секундах):

r = 4t; = 2t.

Определить траекторию движущейся точки, а также ее скорость и ускорение в момент времени t1 = 1(c).

Решение. Для определения траектории исключаем из уравнений движения время t и находим уравнение траектории в виде, дающем зависимость между координатами r и движущейся точки.

Из второго уравнения находим t = /2 и, подставляя это выражение для t в первое уравнение, получаем r = 2 .

Линия, описываемая точкой в данном случае, когда длина радиуса-вектора прямо пропорциональна его углу поворота, называется архимедовой спиралью.

В заданный момент времени t1 = 1(c) точка имеет координаты r1 = r(t1) = 4(м), 1= (t1) = 2(рад).

Определяем радиальную и трансверсальную скорости, а затем модуль скорости, точки в момент времени t1 = 1(c):

vr = = (4t)· = 4(м/с);

= r = 4t (2t)· = 8t; (t1) = 8(м/с).

Модуль скорости v(t1) =( vr2 + 2 ) = 8.94(м/c).

Определяем радиальное и трансверсальное ускорения,а затем модуль полного ускорения, точки в момент времени t1 = 1(c):

ar = - r ( )2 =(4t)·· - 4t ((2t)· )2 = 0 - 4t·4 = -16t; ar(t1) = -16(м/с2).

= r + 2 = 4t (2t)·· + 2 (4t)· (2t)· = 0 + 2 · 4 · 2 = 16(м/с2);

Модуль ускорения a =( ar2 + 2 ) = 16 22.6(м/с2).

Векторы v и a показаны на рисунке.