Последний уровень раздела предыдущего изложения   Текущий уровень изложения предыдущего раздела   Текущий уровень изложения следующего раздела   Первый уровень изложения следующего раздела   Уровень:


Операторы

В этой главе мы вспомним те элементы теории операторов, которые будут необходимы в дальнейшем.
Определение 1: Оператором называется отображение , где - гильбертовы пространства.
Область определения оператора - множество, на котором задано действие оператора;
область значений оператора .
Обычно мы будем иметь дело со случаем .


Определение 2: Операторы и называются равными, если:
  1. ;
  2. для .
Определение 3: Оператор называется расширением , а - сужением (обозначается ), если:
  1. ;
  2. .


Определение 4: Оператор называется непрерывным в точке , если


Определение 5: Оператор называется непрерывным в области , если он непрерывен для .


Определение 6: Оператор называется линейным, если .


Рассмотрим примеры линейных операторов.
Пример 1: Дифференциальный оператор
. Также можно рассмотреть , заданный на .


Пример 2: Интегральный оператор
. Функция называется ядром интегрального оператора.