|
|
|
|
|
|
||
Как следует из данной книги, синергетика целенаправленно пытается отыскать правила, по которым возникает порядок в хаотических системах; сосуществование хаоса и порядка, переход от одного к другому; конкуренция или взаимоСОдействие в сложных системах. Эти процессы возникают в различных физических и математических задачах. В них есть общий элемент: конкуренция нескольких центров за доминирование на плоскости или их взаимоСОдействие. Обычно не встречается простой структуры границ, чаще имеет место филигранное переплетение и борьба за свои участки. В этой пограничной области происходит переход от одной формы существования к другой, от порядка к беспорядку и наоборот. Порой возникает третий конкурент, который пользуется разногласиями двух других и насаждает свою область влияния.
Выше отмечалось, что любой нелинейный процесс приводит к ветвлению, к развилке на пути, в которой система может выбрать ту или иную ветвь, но последствия решения невозможно предсказать. Самые незначительные неточности в начальном состоянии системы развиваются, в каждый конкретный момент причинная связь сохраняется, но после нескольких ветвлений она уже не видна. Пример такой системы дает движение с участием жестких шаров, где рассматривается движение маленького шарика, сталкивающегося со случайно расположенными в пространстве большими фиксированными шарами (рис. 1). Если внести малейшую неопределенность в начальные условия, то она будет очень быстро возрастать и делает невозможным предсказание уже после нескольких первых столкновений о местоположении малых шаров. Увеличение точности задания начальных условий потребует бесконечного увеличения информации, иначе придем к необратимости.
Эти трудности, как уже отмечалось, характерны не только для механических задач, они встречаются и в физике элементарных частиц, и в биологии, и в социологии. Требуются новые взгляды в науке, новые концепции [15], новый математический аппарат. Это не означает, что известные до сих пор законы природы неверны, просто мы недостаточно осознаем, что в них скрыто. Математический подход к более широкому взгляду на природу дал в 1980 г. французский математик Бенуа Мандельброт, указавший на фрактальную геометрию природы. Известная нам геометрия неспособна описать форму облака, горы, дерева или берега моря. На приведенном рисунке хорошо видна фрактальная структура кровеносных сосудов сердца. Сравнивая исходное изображение (cверху) и его увеличенный фрагмент (внизу) можно убедится, что топология крупных и мелких сосудов статистически идентична.
Природа демонстрирует нам совсем иной уровень сложности, связанной с морфологией аморфного. Теперь приведем следующие фракталы "искуственного происхождения":
Не правда ли, очень правдоподобно? Следующий пример - уже научно значимый результат: слева фотография диффузионных каналов в пористой среде, а справа - математическая фрактальная модель этого процесса.
 |  |
Фрактальные объекты самоподобны, т. е. их вид не претерпевает существенных изменений при разглядывании их в микроскоп с любым увеличением. О множествах, имеющих такую структуру, говорят, что они обладают геометрической (масштабной) инвариантностью. Процессы, порождающие такие структуры - это процессы с обратной связью, в которых одна и та же операция выполняется снова и снова.
Здесь результат одной итерации является начальным условием для следующей (рис. 2), причем требуется нелинейная зависимость между результатом и начальным значением, т. е. динамический закон xn+1 = f(xn, С) более сложный, чем линейный xn+1 = kxn . Как следует из рис. 2, зависимость xn+1 от xn должна содержать параметр С. Если начать итерационный процесс с некоторого значения x0, то его результатом будет последовательность x1, x2, ... Если исследовать поведение такой последовательности, мы и получим (как правило) какой-либо фрактальный объект. Такие последовательности сильно отличаются от обыных последовательностей в математике. Очередной шаг зависит от предыдущего и случайностей, а не от начального значения. А в жизни чаще всего так и бывает: ваши действия в основном определяются событиями предыдущих дней и отчасти случаем и не зависят от вашего дня рождения (астрологию не трогаем, т.к. за начальное значение с полным правом можно взять любой другой день вашей жизни).
Большинство приведенных в этом параграфе примеры фракталов - "искуственного" происхождения: т.е. самоподобие в них является правилом построения. Через параграф мы рассмотрим примеры фракталов, возникающих по механизму на рис 2, а далее - как строятся и исследуются фракталы.