|
|
|
|
|
|
||
ПРИМЕРЫ
1. Вычислить криволинейный интеграл
где L - отрезок прямой между точками A (0,0), B(4,3). Решение:
Прямолинейный отрезок АВ лежит в плоскости Оху (рис. 4.2), на нем задана функция f(х, у) =ху2. Уравнение прямой АВ имеет вид 
. Так как 
, то
.
По формуле (4.6) получаем
.
(см. упражнения )
2. Вычислить криволинейный интеграл
, где L - дуга кривой 4у=х4 между точками, для которых х = 0, х = 1. Решение:
Поскольку 
, 
и на дуге кривой 
функция 
, то по формуле (4.6)
.
(см. упражнения )
3. Вычислить криволинейный интеграл
, где L - дуга кривой х =ln(y) между точками, для которых у = l, у = 4. Решение:
Так как кривая задана уравнением 
, то дифференциал ее дуги выражается формулой
Криволинейный интеграл вычислим по формуле
В данном случае с= 1, d = 4, 
, 
, 
, поэтому
.
(см. упражнения )
4. Вычислить криволинейный интеграл
, где L - контур треугольника АВО (рис. 4.3) с вершинами А(1,0), В(0,2), О(0,0). 
Решение:
В соответствии с четвертым свойством криволинейного интеграла первого типа
.
На отрезке AB 
, поэтому 
, 
На отрезке ВО 
, 
, 
, 
. На отрезке OA у = 0, у' = 0, 
, 
. Принимая во внимание первое свойство криволинейного интеграла и используя формулы (4.6) и (4.8), получаем
.
(см. упражнения )
5. Вычислить криволинейный интеграл
, где L - лепесток лемнискаты 
, расположенный в первом координатном углу (рис. 8.4). Решение:
Линия L задана уравнением в полярных координатах, поэтому здесь целесообразно воспользоваться формулой (4.7).
Так как
,
то
.
Заметив, что 
, т. е. 
, 
, по формуле (4.7) получим
.
(см. упражнения )
6. Вычислить криволинейный интеграл 
, где L - первая арка циклоиды
, 
.
Решение:
Применим формулу (4.5). Для первой арки циклоиды (рис. 4.5) 
, т. е. 
, 
.
Поскольку
, 
и
,
по формуле (4.5)
,
так как
и
.
(см. упражнения )
7. Вычислить криволинейный интеграл
, где L - отрезок прямой между точками М1(8, 9, 3), М2(6, 10, 5). Решение:
Составим сначала уравнения прямой, проходящей через точки М1 и М2,:
или 
Таким образом, получены параметрические уравнения прямой:
, 
, 
;
точка М пробегает отрезок М1М2, когда t изменяется от 0 до 1, т. е. t1=0, t2=1.
Так как 
, 
, 
, то
.
По формуле (4.4)
.
(см. упражнения )
8, Вычислить криволинейный интеграл 
, где L - дуга винтовой линии 
, 
, 
(рис. 4.6), ограниченная точками, для которых t = 0, 
.
Решение:
Применяем формулу (4.4). Поскольку
, 
, 
,
то
и
.
(см. упражнения )
9. Вычислить криволинейный интеграл 
, где L - окружность 
, 
.
Решение:
В данном случае линия задана пересечением двух поверхностей: сферы и плоскости.
Составим параметрические линии, положив 
. Тогда 
, a 
(получено из уравнения с учетом равенств 
).
Из параметрических уравнений линии
, ,
находим:
, , 
поэтому
Из равенств определим пределы изменения t, положив , или 
, откуда 
, 
. Заметив, что на данной линии 
или 
, по формуле (4.4)
.
(см. упражнения )