Если в электрической цепи переходный режим завершается установившимся и до коммутации цепь также находилась в установившемся режиме, то полное представление о переходе от одного режима к другому может дать качественный анализ. Качественный анализ может быть полезен и тогда, когда коммутация цепи наступает до окончания переходного процесса.

Состояние цепи до коммутации и после окончания переходного процесса можно определить расчетом токов и напряжений с помощью методов анализа электрический цепей в установившемся режиме. В момент коммутации токи в индуктивностях и напряжения на емкостях сохраняют свое значение, а все остальные величины могут изменяться скачкообразно. При этом безусловно должны соблюдаться законы Кирхгофа, что позволяет определить значения всех величин в момент времени непосредственно следующий за коммутацией также методами расчета установившихся режимов. В результате, не прибегая к анализу дифференциальных уравнений, можно для всех токов и напряжений цепи указать значения в момент времени предшествующий коммутации, непосредственно следующий за ней, а также их значения после окончания переходного процесса. Собственно переходный процесс (его длительность и характер) также можно определить без получения полного решения дифференциальных уравнений.

Рассмотрим установившиеся режимы в цепи рис. 1 до и после коммутации ключа S (рис. 1). Для этой цепи до замыкания ключа ( t = 0- ) можно составить уравнения Кирхгофа в виде

i₁ = i₂ + i₃ ;

u_R1 + u_R2 + u_L = E = i₁R₁ + i₂R₂ + u_L ;

u_R3 + u_C = u_R2 + u_L .

Но в установившемся режиме до коммутации производные по времени от токов и напряжений при E = const равны нулю, поэтому i₃ = Cdu_C/dt = 0; u_R3 = i₃R₃ = 0 и u_L = Ldi₂/dt = 0. Поэтому i₁ = i₂ и из второго уравнения i₁ = i₂ = E/(R₁ + R₂). Соответственно u_R1 = i₁R₁ = ER₁/(R₁ + R₂) и u_R2 = i₂R₂ = ER₂/(R₁ + R₂), а из третьего уравнения u_C = u_R2.

i₁ = i₂ + i₃ ;

u_R2 + u_L = E = i₂R₂ + u_L ;

u_R3 + u_C = u_R2 + u_L .

В установившемся режиме ( t = µ ), также как в докоммутационном интервале времени, i₃ = Cdu_C/dt = 0; u_R3 = i₃R₃ = 0 и u_L = Ldi₂/dt = 0. Поэтому из второго и третьего уравнений u_R2 = E = u_C , а i₁ = i₂ = E/R₂.

В момент времени непосредственно после коммутации ( t = 0₊ ) i₂(0₊) = i_L = i₂(0- ) = E/(R₁ + R₂) и u_C(0₊) = u_C(0- ) = ER₂/(R₁ + R₂) . Отсюда u_R2 = i₂R₂ = ER₂/(R₁ + R₂). Тогда из второго уравнения u_L = E - u_R2 = ER₁/(R₁ + R₂), а из третьего - u_R3 = u_R2 + u_L - u_C = ER₁/(R₁ + R₂) = u_L = i₃R₃ Ю i₃ = ER₁/[(R₁ + R₂)R₃]. Ток на входе цепи из первого уравнения будет i₁ = i₂ + i₃ = E(R₁+ R₃)/[(R₁ + R₂)R₃]

Таким образом, при коммутации сохраняют свои значения (D (0)=0) только i₂, u_R2 и u_C. Остальные величины скачкообразно изменяют свои значения. Причем для приращений токов D (0), как и для установившихся значений, соблюдается закон Кирхгофа D i₁ = D i₂ + D i₃. Соблюдается он и для приращений напряжений

D u_R1 + D u_R2 + D u_L = 0 ;

D u_R3 + D u_C = D u_R2 + D u_L.

Во втором контуре (L-C) при коммутации скачки напряжения на L и R₃ взаимно компенсируют друг друга так, что u_C сохраняется постоянным.

• преобразовать систему уравнений Кирхгофа последовательной подстановкой в одно дифференциальное уравнение относительно какой-либо величины и заменить в нем все производные по времени на p^k, где k - порядок производной или
• произвести разрыв электрической цепи в любой произвольной точке и определить комплексное сопротивление относительно точки разрыва, а затем заменить в нем все произведения jw на p и приравнять результат нулю.

Решим задачу обоими способами для цепи рис. 2 а). После замены источника она приобретет вид рис. 2 б) и система уравнений Кирхгофа для такой цепи будет

Ток i₃ из первого уравнения можно представить разностью i₃ = i₁ - i₂. Но из второго уравнения , поэтому

.

Подставим это выражение в третье уравнение, проинтегрируем и возьмем производную. Тогда мы получим дифференциальное уравнение второго порядка относительно тока i₂ в виде

.

Заменив производные на p^k, получим характеристическое уравнение

.

Заменив в этом выражении jw на p и произведя необходимые преобразования, получим характеристическое уравнение

Характеристическое уравнение позволяет получить качественное представление о переходном процессе в цепи. Количество корней уравнения в общем случае равно его порядку, а порядок уравнения определяется количеством независимых реактивных элементов электрической цепи. Теоретически порядок уравнения может быть любым, но на практике аналитическое решение уравнения выше четвертого порядка невозможно. В этом случае нужно либо упростить цепь, либо получить численное решение. Совокупность корней характеристического уравнения называется спектром корней.

Корни характеристического уравнения пассивной электрической цепи могут быть только либо вещественными числами, либо комплексно-сопряженными. Вещественная часть комплексно-сопряженных корней или вещественные корни определяют скорость изменения экспонент, образующих решение дифференциального уравнения для свободной составляющей. Если в цепи нет скрытых источников энергии, то запас ее в электрических и магнитных полях на момент коммутации должен со временем рассеяться, превратившись в тепло в резистивных элементах. В математическом выражении это означает, что значения всех экспонент составляющих решение со временем должны уменьшаться, а для этого вещественная часть их показателей должна быть отрицательной. Следовательно, отрицательными должны быть вещественные корни характеристического уравнения и отрицательной должна быть вещественная часть комплексно-сопряженных корней.

Скорость изменения каждой входящей в решение экспоненты обратно пропорциональна постоянной времени t . Чем больше постоянная времени, тем медленнее происходит затухание. Очевидно, что процесс закончится только после затухания экспоненты с самой большой t . В технике принято считать переходный процесс завершившимся, если отклонение не превышает 5% от установившегося значения. Для экспоненты это состояние наступает при t = 3t . Все сказанное означает, что для определения длительности переходного процесса нужно найти значение самой большой постоянной времени. Для этого достаточно выбрать из спектра корень p_k с самой малой по абсолютному значению вещественной частью (включая и вещественные корни) и взять обратную величину, т.е. t _max= 1/|Re[p_k]| .