В тех случаях, когда требуется учесть процессы в электрическом и магнитном поле электрическая цепь содержит реактивные элементы обоих типов. Простейшим вариантом такой цепи является последовательное соединение R-L-C (рис. 1).

Уравнение Кирхгофа для этой цепи после замыкания ключа S

Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения (2) можно получить заменой производных по времени на p^k

где - величина, названная при рассмотрении явления резонанса в этой цепи затуханием; - волновое сопротивление цепи, а - угловая частота, на которой в цепи рис. 1 возникает резонанс.

Таким образом, корни характеристического уравнения являются функцией затухания d и резонансной частоты w ₀, значения которых, в свою очередь, определяются параметрами цепи R, L и C. Резистивное сопротивление R входит только в выражение для затухания и при вариации R резонансная частота будет сохраняться постоянной. Поэтому при анализе корней затухание можно считать независимой переменной, а резонансную частоту константой, т.к. эти условия можно реализовать изменением R.

Из выражения (4) следует, что корни могут быть вещественными отрицательными, если d і 2, или комплексно-сопряженными, если d < 2. Для первого случая их можно представить в виде

Если затухание цепи d і 2, то оба корня отрицательные вещественные различные (кроме предельного случая d =2) и свободные составляющие всех величин в переходном процессе будут суммой двух экспонент с различными показателями. Значения тока и напряжений со временем не будут регулярно повторяться, поэтому такой переходный процесс называется апериодическим. Так как p_1,2 < 0, то обе экспоненты будут со временем уменьшаться до нуля со скоростью, определяемой постоянной времени каждой из них t _1,2 = 1/| p_1,2 | = 1/(w ₀|h _1,2|). Таким образом, чем больше абсолютное значение h , тем быстрее закончится переходный процесс. Для двух экспонент длительность процесса будет определяться меньшим абсолютным значением h . Из рис. 2 следует, что при увеличении затухания d значения h ₁ и h ₂ расходятся, причем при d (r) µ h ₁ (r) 0 и длительность переходного процесса становится бесконечной. Одновременно h ₁ и h ₂ достигают наибольших возможных абсолютных значений в предельном режиме, когда d =2. Следовательно, этот режим будет соответствовать минимальной длительности переходного процесса в цепи.

При затухании 0 < d < 2 корни характеристического уравнения комплексно-сопряженные с отрицательной вещественной частью. В этом случае свободная составляющая решения дифференциального уравнения также будет суммой двух экспонент, но эти экспоненты могут быть объединены и решение получено в виде

a(t) = Aes ^tsin(v t+n )

Эта функция представляет собой синусоиду с изменяющейся во времени амплитудой. Всякая синусоидальная функция соответствует колебаниям величины относительно среднего значения, поэтому переходный процесс в цепи называется колебательным. Вещественная часть корней характеристического уравнения s определяет скорость изменения амплитуды, а мнимая v , частоту колебаний. Следовательно, длительность переходного процесса будет зависеть только от s = - d /2. Так как s < 0, то со временем амплитуда колебаний свободной составляющей будет уменьшаться. При уменьшении затухания d абсолютное значение s также уменьшается, что соответствует увеличению длительности переходного процесса. Максимального абсолютного значения равного s = h ₁ = h ₂ = - 1 (рис. 2) s достигает в предельном режиме при d (r) 2, подтверждая сделанное ранее утверждение, что в этом режиме длительность переходного процесса минимальна.

.

Величина D называется декрементом колебаний. На практике чаще применяют натуральный логарифм D называемый логарифмическим декрементом колебаний

.

Как и следовало ожидать, скорость изменения свободных составляющих в колебательном переходном процессе зависит только от затухания электрической цепи.

Частота колебаний свободных составляющих тока и напряжений при изменении затухания также изменяется. При увеличении затухания она стремится к нулю (рис. 2), а при уменьшении к резонансной частоте цепи. При отсутствии затухания в цепи будет протекать переменный синусоидальный ток с частотой w₀.

Рассмотрим теперь процесс подключения цепи рис. 1 к источнику постоянной ЭДС E. Емкость C при этом может быть полностью разряжена или заряжена до напряжения U₀ , которое с помощью коэффициента - µ < c < +µ можно представить через ЭДС источника в виде U₀ = cE. При c < 1 ток в цепи после замыкания ключа будет протекать в направлении показанном сплошной стрелкой.

Установившееся значение тока в цепи будет равно нулю, а установившееся значение напряжения на емкости - ЭДС E. В общем случае напряжение на емкости при переходном процессе равно

,

Постоянные интегрирования A₁ и A₂ нужно определить из начальных значений тока и напряжения на емкости в момент коммутации, пользуясь тем, что

u_C(0_-) = U₀ = cE = u_C(0₊) = E + A₁ + A₂ и

i(0_-) = 0 = i(0₊) = C(p₁A₁ + p₂A₂) .

Отсюда A₁ = E(1- c)p₂/( p₁- p₂) и A₂ = - E(1- c)p₁/( p₁- p₂) . Подставляя полученные значения в выражения для напряжения на емкости и тока получим

Если в выражения (7) и (8) подставить корни характеристического уравнения из выражения (5), то для апериодического процесса напряжение на емкости и ток в цепи будут

На рис. 3 а) приведены эти кривые при относительном начальном значении напряжения на емкости c = 0.5. В качестве базовых значений для напряжения принята ЭДС E, а для тока E(1- c)/[Lw ₀(h ₁- _{h 2})]. Для тока также построены быстро и медленно затухающие составляющие экспоненты i_s и i_l (i =i_s+i_l).

Выражения (7) и (8) получены без введения каких-либо ограничений на корни характеристического уравнения. Поэтому для нахождения решения при колебательном процессе (d <2) можно подставить корни из выражения (6), а затем преобразовать полученную сумму экспонент с комплексными показателями по формуле Эйлера. В результате мы получим выражения для напряжения на емкости и тока в цепи в виде

где y = arctg(v /s ) = arctg(2p /J ) .

На рис. 3 б) приведены кривые колебательного переходного процесса при том же относительном начальном значении напряжения на емкости c, что и при апериодическом процессе (они построены на рисунке пунктиром).