Анализ электромагнитных процессов в электрических цепях переменного тока в общем случае возможен только с использованием представления токов, напряжений и параметров цепи комплексными числами. Это позволяет исключить тригонометрические функции из уравнений, описывающих электрическую цепь и сделать их линейными. Так как при этом все величины заменяются их изображениями или символами, то этот метод носит название символического.

Последовательность операций в символическом методе в общем случае следующая:

Последняя операция не является обязательной, т.к. некоторые величины (амплитудные и действующие значения токов и напряжений, активные и реактивные составляющие и т.п.) не изменяются при обратном преобразовании.

Рассмотрим применение этого метода на примере цепи, изображенной на рис. 1 а).

Обозначим стрелками направления токов принятые за положительные. Тогда во временной области для этой цепи можно составить уравнения Кирхгофа в виде

(1)

Если в выражениях (1) заменить токи и ЭДС синусоидальными функциями времени, то решить эту систему уравнений будет весьма затруднительно.

Перейдем к изображениям параметров исходной схемы комплексными числами в виде: Z1 = jw L1; Z21 = R1; Z22 = - j/(w C); Z3 = R2; Z41 = R3; Z42 = jw L2; Z1 = R4 . Этим параметрам соответствует схема замещения рис. 1 б). Вторая и четвертая ветви этой схемы имеют по два элемента. Их можно преобразовать как последовательное соединение к виду Z2 = R1- j/(w C) и Z4 = R3+jw L2, но соединения R1-C и R3-L2 можно сразу представить одним комплексным числом, в котором вещественная часть соответствует резистивному сопротивлению, а реактивная - емкостному и индуктивному. В результате схема замещения будет такой, как показано на рис. 1 в).

Переход от оригиналов к изображениям является линейной операцией, поэтому все законы справедливые для области оригиналов будут справедливы и для изображений. Кроме того, в области изображений отсутствует параметр времени и все величины являются константами, аналогично цепям постоянного тока. Поэтому формально в расчетах по схеме замещения можно применять не только основные законы электрических цепей, такие как законы Ома и Кирхгофа, но и все производные от них методы, т.е. метод контурных токов, узловых потенциалов, наложения, эквивалентного генератора и др.

Для символической схемы замещения можно составить уравнения Кирхгофа в виде

(2)

Из этой системы уравнений можно найти, например, токи, представив ее в удобной для машинного анализа матричной форме записи

(3)

или в развернутой форме

(4)

Отсюда можно найти комплексные токи во всех ветвях, если известны параметры цепи и ЭДС источника. Пусть, например, e = 100sin(1000t-27° ) В; R1 = 20 Ом; R2 = 15 Ом; R3 = 30 Ом; R4 = 25 Ом; L1 = 10 мГн; L2 = 50 мГн; C = 50 мкФ. Тогда комплексные сопротивления и ЭДС будут Z1 = j10 Ом; Z2 = 20- j20 Ом; Z3 = 15 Ом; Z4 = 30+j50 Ом; Z5 = 25 Ом; Em = 100e- j27° .

После решения системы уравнений (2) получим: I1m = 5.96e- j40.4° А; I2m = 3.67e- j16° А; I3m = 3.03e- j70.5° А; I4m = 1.02e- j112.7° А; I5m = 2.38e- j53.7° А. В этих выражениях определены амплитуды и начальные фазы всех токов. Делением модулей токов на можно найти их действующие значения, а если требуется, то можно представить и синусоидальными функциями времени в виде: i1 = 4.67sin(1000t - 67.4° ) А; i2 = 2.87sin(1000t - 43° ) А; i3 = 2.37sin(1000t - 97° ) А; i4 = 0.8sin(1000t - 139° ) А; i5 = 1.86sin(1000t - 80° ) А.

Найдем теперь падение напряжения между узлами a и c цепи рис. 1 а), пользуясь эквивалентными преобразованиями и законом Ома. Схема замещения этой цепи приведена на рис. 1 в) и 2 а). Поэтапно преобразуя цепь Z4Ù Z5Þ Z45= Z4 Z5/( Z4+ Z5)=18.7+j5.65 Ом; Z45Ù Z3Þ Z345= Z45+ Z3=33.7+j5.65 Ом; Z345Ù Z2Þ Z2345= Z345 Z2/( Z345+ Z2)=16.3- j6.1 Ом (рис. 2 б)-г)), перейдем к цепи, представляющей собой один контур с последовательным соединением Z1-Z2345-E.

Ток в контуре рис. 2 г) равен I1m = Em/(Z1+Z2345)=100e- j27°/(16.3+j3.9) = 5.96e- j40.4° А. Как и следовало ожидать, ток I1m получился равным току рассчитанному по законам Кирхгофа. Отсюда искомая разность потенциалов Uacm= I1m Z2345=103.8e- j61° или в области оригиналов uac = 103.8sin(1000t - 61° ) В.

Следует обратить внимание на то, что в исследуемой цепи амплитуда падения напряжения между узлами a и c превышает амплитуду источника ЭДС. Объяснение этому явлению дано в анализе внешних характеристик источников питания переменного тока.