	Уровень:

Поверхностные интегралы II рода. Примеры. Упражнения

УПРАЖНЕНИЯ

(см. поверхностные интегралы второго рода )

Вычислить,поверхностный интеграл второго рода где Ч верхняя сторона поверхности z = отсеченной плоскостями (рис. 4.14). Нормаль в точке М, соответствующая указанной стороне поверхности составляет с осью Oz острый угол (точнее 0 ) поэтому в формуле (4.26) (см. поверхностные интегралы второго рода), которой следует воспользоваться, нужно взять знак УплюсФ. Проекцией данной поверхности на плоскость Оху является прямоугольник ABCD (рис.4.15), определяемый неравенствами -

По формуле (4.26) (см. поверхностные интегралы второго рода ) находим

Замечание. Если бы рассматривалась нижняя (внутренняя) сторона поверхности, то нормаль, соответствующая ей, образовывала бы с осью Oz тупой угол в формуле (4.26) нужно было бы взять знак “-”.

(см. упражнения )

2. Вычислить поверхностный интеграл второго рода , где Ч внутренняя сторона поверхности отсеченной плоскостями y=2p, z=0,z=q (рис. 4.16).

Вычислить поверхностный интеграл второго рода , где внешняя сторона поверхности

отсеченной плоскостями y=0, y=b,

(рис. 4.18)

Нормаль к поверхности в точке М образует осью Оу тупой угол , поэтому в формуле (4.27) следует взять знак “-”.

Проекцией ( ) данной поверхности на плоскостьOxz является круг . По формуле (4.27)

Переходя к полярным координатам, , находим

Следовательно, .

(см. упражнения )

4. Вычислить поверхностный интеграл второго рода , где - внутренняя сторона часть полусферы вырезанной конусом

В формуле (4.27), которой надлежит пользоваться, следует взять знак "минус", так как нормаль, соответствующая выбранной стороне поверхности, составляет с положительным направлением оси Ox тупой угол:

Так как есть круг (получено из уравнений ) то, вводя полярные координаты , находим

Итак

(см. упражнения )

5. Вычислить поверхностный интеграл второго рода где -внешняя сторона нижней половины эллипсоида (рис. 4.19). Нижняя половина эллипсоида

Проекцией этой половины эллипсоида на плоскость Oxy является эллипс .

Так как нормаль , отвечающая внешней стороне поверхности, составляет с осью Oz тупой угол, то

Вводя новые координаты по формулам

находим

(см. упражнения )

6. Вычислить поверхностный интеграл второго рода , где - внешняя сторона сферы

Этот интеграл представляет собой сумму трех интегралов. Вычислим первый из них:

Уравнение сферы будет ,

где знак + отвечает одной полусфере (ближней), - - другой (дальней). Подынтегральную функцию представим в виде

Обозначим через внешнюю сторону ближней полусферы , через - внешнюю сторону дальней полусферы через ( ) - проекцию каждой полусферы на плоскость Oyz (это круг, ограниченный окружностью , (рис. 4.21)