Предыдущий уровень изложения текущего раздела   Текущий уровень изложения предыдущего раздела   Текущий уровень изложения следующего раздела   Следующий уровень изложения текущего раздела   Уровень:


Вычисление площади фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически

2.6.1.b Примеры.

1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной одной аркой циклоиды

.

Решение.

В формуле подставим . Тогда f(x) = и , где . Таким образом



2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой

Решение.

Так как данная фигура представляет из себя 4 одинаковых лепестка, вычислим площадь одного из них, который получается , когда t меняется от 0 до . Обозначим через то значение параметра t, при котором функция достигает наибольшего значения .

Тогда нижняя дуга ОСА кривой является графиком функции y = y1 (x), заданной параметрически уравнениями , где , а верхняя дуга ОВА является графиком функции заданной параметрически теми же уравнениями, но на промежутке . Тогда площадь данной фигуры будет равна разности площадей фигуры ОВАА1 и криволинейного треугольника ОАА1:

.

Упростим подынтегральную функцию:

= .

Тогда искомая площадь будет равна .