|
|
|
|
|
|
||
2.5.3 Решения
1. Так как при 
имеет место соотношение 
, то при этом же условии будет верно 
. Так как 
сходится, если 
, то данный интеграл тоже сходится (см. признак сходимости 3 ).
2 Воспользуемся тем, что 
, если . Так как интеграл 
расходится, то данный интеграл тоже расходится (см. признак сходимости 3 ).
3. Имеет место соотношение 
, если . Следовательно, интеграл сходится. (см. . признак сходимости 3 ).
4. Так как 
, то 
. И, так как сходится интеграл от меньшей функции, то данный интеграл сходится, причем абсолютно. (см. признаки сходимости 1 и 2 ).
5. Известно, что при достаточно больших x справедливо неравенство 
, где k - любое положительное число. Поэтому можно найти А такое, что при всех x, взятых из промежутка 
, будет выполнено, например, неравенство 
. Тогда на этом промежутке 
. А так как 
, если и интеграл от последней функции сходится, то данный интеграл тоже сходится.
(см. признаки сходимости 2 и 3 ).
А) 
.
Вычисляя этот интеграл по определению несобственного интеграла по бесконечному промежутку , получим 
, следовательно, интеграл сходится.
Б) 
.
, то есть интеграл расходится.
В) 
.
Также, вычисляя этот интеграл по определению , получим, что он расходится.
Итак, интеграл сходится при .
А) .
Тогда на промежутке интегрирования очевидно неравенство 
и, так как интеграл от большей функции сходится, то сходится и данный интеграл. (признак сходимости 2 )
Б) 
В этом случае интеграл легко вычисляется по определению , и он расходится.
В) 
Известно, что для достаточно больших x имеет место неравенство 
, где s - любое положительное число. Возьмем 
. Тогда 
. Так как показатель степени 
, то интегралы расходятся.
Вычислим этот интеграл, используя определение несобственного интеграла по бесконечному промежутку : 
Конечный предел существует и равен 
, если и этот предел бесконечен, если .
Если ,то 
.
9. Допустим сначала, что 
. Тогда на промежутке x > e выполняется неравенство 
. Очевидно, что интеграл от меньшей функции расходится, значит, расходится и данный интеграл.(признак сходимости 2 )
Теперь допустим, что . Тогда, так как для достаточно больших x выполнено неравенство , где s - произвольное положительное число, то для этих же x имеем 
. Взяв 
, при 
получим 
и, так как интеграл от последней дроби сходится, то сходится и данный. (. признак сходимости 2 )
А) .
Тогда, используя неравенства и 
, которые выполнены при положительных s и a для всех достаточно больших x, получим 
. Следовательно, интеграл расходится. ( признак сходимости2 )
Б) .
Интеграл 
расходится, так как и, следовательно, 
. (признак сходимости2 )
В) .
Обозначим 
. Тогда b> 0 и 
. Если взять s таким, чтобы s - b было больше 1, то интеграл от большей функции будет сходиться, значит, будет сходиться и данный. ( признак сходимости2 )
11. Особая точка подынтегральной функции x = 0. При 
выполнено соотношение 
, так как 
.
Так как интеграл 
сходится, то данный интеграл тоже сходится (смотри .( признак сходимости 3 )
12. Особая точка подынтегральной функции x = 1. Докажем, что 
при 
. Для этого рассмотрим 
. Так как 
- непрерывная функция, то можно перейти к пределу подкоренного выражения, который легко вычислить, например, по правилу Лопиталя: 
= 
.
Так как интеграл 
сходится, то данный интеграл тоже сходится ( смотри признак сходимости 3 )
13. На промежутке [0, 2
] имеется 3 особых точки подынтегральной функции: x = 0, x = и x = 2 . Разделим промежуток на 4 части: [0, /2], [ /2, ], [ , 3 /2] и [3 /2, 2 ]. Тогда на каждом промежутке будет единственная и притом граничная особая точка.
. Так как 
при , то 
и интеграл сходится (смотри признак сходимости 3 ) Теперь рассмотрим 
. Сделаем в этом интеграле замену переменной t = - x . Тогда 
.
. Сделаем замену t = + x. Тогда 
, который с помощью замены t =2 - x также приводится к J1: 
.
Так как сходится J1, то остальные интегралы тоже сходятся и, следовательно, сходится их сумма.
Замечание.
Из доказательства следует, что данный интеграл равен нулю.
14. В точке x = -1 подынтегральная функция не определена, но, так как 
, то ее можно доопределить в этой точке нулем и тогда в окрестности этой точки подынтегральная функция станет непрерывной и, следовательно, интегрируемой. Таким образом, остается одна точка x = 0, которая лежит внутри промежутка и в которой 
. Разобьем интеграл на сумму двух: 
. Так как 
, то 
и каждый из этих интегралов расходится. ( признак сходимости 3 ) Так как они независимы друг от друга, то их сумма тоже расходится.
15. Особая точка функции x = 0. При получим 
. Так как 
сходится, то данный интеграл тоже сходится. ( признак сходимости 3 )
16. Особая точка функции x = 0. При получим 
. Так как 
сходится, то сходится и данный интеграл. ( признак сходимости 3 )
17. Особая точка функции x = 0. Воспользуемся формулой Тейлора-Маклорена: 
.
Тогда 
Следовательно, интеграл расходится. ( признак сходимости 3 )
18. Подынтегральная функция имеет две особые точки x = 0 и x = . Разобьем промежуток интегрирования пополам и исследуем сначала 
. При получим 
. Следовательно, рассматриваемый интеграл расходится. ( признаки сходимости 2 и 3 ) Так как слагаемые, из которых состоит данный интеграл, независимы, то данный интеграл будет расходиться, независимо от поведения второго слагаемого.
19. Особая точка подынтегральной функции x = 0. При Выполнено соотношение 
= 
. Интеграл от последней функции будет сходиться при 
.( признак сходимости 3 )
20. Особая точка подынтегральной функции x = 0. По формуле Тейлора-Маклорена получим:
, 
,
.
Отсюда 
. Интеграл от последней функции сходится при 
. (признак сходимости 3 )
21. Сделаем замену переменной 
. Тогда (не забудьте пересчитать пределы интегрирования и воспользоваться свойством интеграла) данный интеграл будет равен 
. В последнем интеграле особая точка t = 0. По формуле Тейлора-Маклорена имеем
,
.
Отсюда 
= 
=
.
Очевидно, что, если 
, то при 
подынтегральная функция эквивалентна 
и интеграл расходится. Если же 
= 1, то подынтегральная функция эквивалентна 
и интеграл сходится. (признак сходимости 3 )
22. Особая точка x = 0. Используя формулы Тейлора-Маклорена для функций sinx и cosx, получим 
.
Если 
, то, так как 
, то интеграл расходится. (признак сходимости2 )
Теперь рассмотрим случай, когда < 1. Используем соотношение 
, которое имеет место при любом положительном k (Чтобы доказать это соотношение, можно вычислить 
по правилу Лопиталя.) Так как 
, то при достаточно малых x будет справедливо неравенство 
, где c и k - некоторые положительные числа. Для этих же x имеем 
. Если k выбрать таким образом, чтобы + k <1, то интеграл от последней функции будет сходящимся. ( признак сходимости2 ) Значит, данный интеграл сходится при .
23. Особая точка x = 0. По формуле Тейлора-Маклорена имеем
,
,
.
Тогда 
. Значит данный интеграл будет сходится при 
. ( признак сходимости 3 )