|
|
|
|
|
|
||
Теоретической основой проектирования ЦУ является алгебра-логики или булева алгебра, оперирующая логическими переменными. Для логических переменных, принимающих только два значения,существуют 4 основных операции. Операция логическое "И" (AND) конъюнкция или логическое умножение, обозначается * или /\. Операция логическое "ИЛИ" (OR), дизъюнкция или логическое сложение, обозначается + или \/ . Операция логическое "НЕ" (NOT), изменение значения, инверсия или отрицание, обозначается чертой над логическим выражением. Инверсия иногда будет в тексте обозначаться знаком " ~ ". Операция эквивалентности обозначается "=" . Следующие соотношения являются аксиомами.
| (1) | 0 + 0 = 0 | 1 * 1 = 1 | (1') | |
| (2) | 1 + 1 = 1 | 0 * 0 = 0 | (2') | |
| (3) | 1 + 0 = 0 + 1 = 1 | 0 * 1 = 1 * 0 = 0 | (3') | |
| (4) | ~1 = 0 | ~0 = 1 | (4') |
Из (1, 2) и (1',2') следует: x + x = x и x * x = x. (5)
Из (1, 3) и (2',3') следует: x + 0 = x и 0 * x = 0. (6)
Из (2, 3) и (1',3') следует: 1 + x = 1 и x * 1 = x. (7)
Из (3) и (3') следует: x +~x = 1 и~x * x = 0. (8)
Из (4) и (4') следует: ~(~x) = x. (9)
И, наконец, из (1,1'), (2,2'), (3,3') и (4,4') следует:
~( x0+x1 ) = ~x0 * ~x1 и ~( x0 * x1) = ~x0 + ~x1 . 10)
Последние выражения (10) называют принципом двойственности или теоремой Де Моргана (инверсия логической суммы равна логическому произведению инверсий и наоборот). Соотношения двойственности для n переменных, часто записывают в виде:
~(x1 + .. + xn) = ~x1 * . .* ~xn и
~(x1 * .. * xn) = ~x1 + .. + ~xn (11)
На функции И и ИЛИ распространяются обычные алгебраические законы - переместительный, сочетательный и распределительный, которые легко доказываются методом перебора: x1 op x0 = x0 op x1 - переместительный, x2 op x1 op x0 = (x2 op x1) op x0 - сочетательный и x2*(x1+x0) = (x2*x1) + (x2*x0) и x2 + (x1*x0) = (x2+x1) * (x2+x0) - распределительный, где операция op может быть, либо И, либо ИЛИ. Наряду с тремя основными логическими функциями, называемыми также переключательными, существуют и другие.