	Уровень:

Интегрирование тригонометрических функций

1. Решение.

Применим универсальную тригонометрическую подстановку .Тогда , , , следовательно, .

2. Решение.

Пусть , тогда , , . Следовательно,

3. Решение.

Применим универсальную подстановку , тогда , , следовательно,

Мы получили интеграл от правильной рациональной дроби. Разложим ее на простейшие:

Вычислим коэффициенты (см. пример 1 )

Для нахождения коэффициентов имеем систему:

решая которую, получим , ,

Таким образом, наш интеграл будет равен: .

4. Решение.

Пусть , тогда , , следовательно, .

5. Решение.

Пусть , тогда , , , следовательно, .

Замечание. Переход в подынтегральном выражении к новой переменной можно осуществить, разделив числитель и знаменатель на : .

6. Решение.

7. Решение.

Сделаем замену переменной : .

8. Решение.

Воспользуемся формулой , тогда

В последнем интеграле воспользуемся формулой : .

9. Решение.

Воспользуемся формулами , , . Тогда: .

10. Решение.

Воспользуемся подстановкой , тогда , , следовательно,

11. Решение.

Воспользуемся подстановкой , тогда , , следовательно,

12. Решение.

Воспользуемся равенствами , . Получим: .

13. Решение.

Воспользуемся формулой . Тогда: .

14. Решение.

Воспользуемся формулой преобразования произведения косинусов в сумму. Тогда получим: .

15. Решение.

Воспользуемся формулой понижения степени . Тогда:

Теперь произведение под интегралом превратим в сумму: .