Предыдущий уровень изложения текущего раздела   Текущий уровень изложения предыдущего раздела   Текущий уровень изложения следующего раздела   Следующий уровень изложения текущего раздела   Уровень:


Некоторые решения уравнений для стабилизированного течения

5.1 Стабилизированное течение несжимаемой жидкости

Уравнение движения в общем виде не поддается аналитическому решению, поэтому принято рассматривать различные частные случаи решения этого уравнения. Прежде всего, обратим внимание на стационарное движение несжимаемой жидкости, то есть выполним условия

(5.1)

Характер движения жидкости может быть стабилизированным и нестабилизированным (рис.5.1), в первом случае пограничные слои в канале сошлись и осталась только одна составляющая скорости Vx, то есть

Vx = Vy = 0(5.2)




Из уравнений (5.1) и (5.2) следует, что
ux/ x = 0(5.3)
Тогда уравнение движения приобтетает вид
(5.4)

5.2 Течение жидкости между плоскими пластинами вдали от входа

На рис.5.2 представлен случай стационарного течения для несжимаемой жидкости между плоскими стенками вдали от входа.

Для неограниченного горизонтального канала (z= ) величина X = 0, а 2Vx/2x = 0, и уравнение (5.4) приобретает вид:

(5.5)

Обратим внимание на следующую особенности уравнения (5.5): левая его часть изменяется только от x, а правая от y,то есть P= P(x), Vx= Vy(y). Это возможно толко при условии p/ x= const. Тогда решение уравнения (5.5) может быть осуществленно по схеме

,(5.6)
где C - постоянная интегрирования, которую найдем из граничного условия: максимальная величина скорости приходится на середину канала y= 0, то есть
,(5.6)
что дает C1= 0

Решение (5.6) можно теперь представить в виде

,
где C2 - вторая постоянная интегрирования, которая может быть найдена из второго граничного условия: на границе y = b скорость равна нулю,
.
Удовлетворяя этому условию, найдем решения для скорости в канале
(5.7).
Представляя это решение в иной форме, введя величину максимальной скорости
Тогда скорость в канале может быть представлена в виде
.(5.8)
Введем среднюю скорость
,
и запишем (5.8) в иной форме

(5.9).

5.3 Стабилизированное движение жидкости в круглой трубе

На рис.5.3 представлен этот случай, и для стационарного течения примем vy= vz= 0 и, как и в случае (5.3) vy/ x= 0

Тогда уравнение движения в декартовой системе координат приобретает вид

В дальнейшем индекс скорости x у скорости опустим, и запишем полученное уравнение в цилиндрической системе координат

(5.10)
Запишем два граничных условия
(5.11)
Решение уравнений (5.10), (5.11) имеет вид
Найдеем выражение для максимальной и средней скорости
(5.12)
(5.13)
Представим скорость v в разных формах
и найдем из них значение градиента давления dp/dx
(5.14)

Если градиент давления постоянный, то на длине L перепад составит p и dp/dx= p/L, что позволяет уравнение (5.14) представить в виде

(5.15)
Это уравнение известно как уравнение Гагена-Пуайзеля.

5.4 Стабилизированное движение жидкости в кольцевом зазоре

В практике часто встречается движение между двумя концентрическими трубами (рис.5.4).

В этом случае примем уравнение (5.10)
(5.16)
с граничными условиями
(5.17)
и условием максимальной скорости в середине кольцевого зазора
(5.18)
При первом интегрировании уравнения (5.16) используем условие (5.17)
При втором интегрировании используем условие (5.17,а)
Условие (5.17,б) позволяет по другому записать это уравнение
Два последних уравнения позволяют найти значение rmax
Далее найдем значение средней скорости и величину градиента давления dp/dx:
(5.20)

5.5 Течение Куэтта

Пусть одна из пластин неподвижна, а вторая движется со скоростью U; жидкость между двумя пластинами при этом приходит в движение (рис.5.5).

Определим распределение жидкости; такое течение носит название течения Куэтта.

Движение такой жидкости описывается уравнением (5.5)
(5.21)
с граничными условиями
(5.22)
Интегрирование этих уравнений дает значения скорости
(5.23)

Распределение скоростей, даваемое решением (5.23) для различных значений перепада давления, изображены на рис.5.6. В частности, для нулевого перепада давления получается линейное распределение скоростей
V= (y/h)U.

Течение с таким распределением скоростей часто назывют простым течением Куэтта или течением чистого сдвига. При наличии перепада давлений происходит наложение простого течения Куэтта и течения в канале. Форма кривой распределения скоростей при течении Куэтта определяется безразмерным градиентом давления

Для p > 0, то есть при падении давления в направлении движения верхней стенки, скорость положительна по всей ширине канала. При p < 0 в некоторой части поперечного сечения возможны отрицательные скорости, то есть возможно возвратное течение.