Равновесие тела под действием пространственной системы сил

Для равновесия твердого тела, находящегося под действием произвольной пространственной системы сил,необходимо и достаточно, чтобы главный вектор этой системы сил и ее главный момент относительно произвольного центра О были равны нулю:

R = 0, L_O = 0.

Вытекающие отсюда аналитические условия равновесия (уравнения равновесия) пространственной системы сил можно сформулировать следующим образом:

Для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций всех сил на каждую из трех координатных осей и сумма их моментов относительно этих осей были равны нулю:

F_ix = 0; F_iy = 0; F_iz = 0;

M_Ox(F_i) = 0; M_Oy(F_i) = 0; M_Oz(F_i) = 0.

Если на тело кроме сил действуют пары сил, заданные их векторными моментами M_k, то при этом вид первых трех уравнений равновесия не изменится (сумма проекций сил пары на любую ось равна нулю), а в последние три уравнения добавляются суммы проекций векторов M_k на координатные оси:

M_Ox(F_i) + M_kx = 0; M_Oy(F_i) + M_ky = 0; M_Oz(F_i) + M_kz = 0.

С использованием понятия бивектора пространственной системы сил условия равновесия могут быть сформулированы следующим образом:

Для равновесия произвольной пространственной системы сил необходимо и достаточно, чтобы бивектор этой системы сил был равен нулю: W_c = W(F_i) = 0.

На этом основании развит матричный метод составления уравнений равновесия пространственной системы сил, ориентированный на применение компьютерных систем математических вычислений.

Вышеизложенные условия равновесия произвольной пространственной системы сил выражаются шестью уравнениями.

Задачи статики, в которых число скалярных неизвестных (обычно они представляют собой неизвестные реакции связей) равно числу уравнений равновесия, содержащих эти неизвестные, называются статически определимыми. В этом случае и саму конструкцию (одно твердое тело или систему тел) также называют статически определимой.

Задачи же (а также рассматриваемые конструкции), для которых число неизвестных больше числа уравнений равновесия, называют статически неопределимыми. Такие задачи не могут быть решены с использованием только уравнений равновесия.

Таким образом, чтобы задача статики на равновесие тела под действием произвольной пространственной системы сил являлась статически определимой, число неизвестных должно быть равно шести.

Рассмотрим теперь частные случаи пространственных систем сил, для которых условия равновесия выражаются тремя уравнениями.

• Пространственная система параллельных сил.

  В этом случае, когда все действующие на тело силы параллельны друг другу, можно для удобства выбрать координатные оси так, чтобы ось Oz была параллельна силам. Тогда для каждой силы ее проекции на оси Ох и Oy и момент относительно оси Oz будут равны нулю и соответствующие три уравнения обратятся в тождества.

  В результате получаем следующие три уравнения равновесия:

  F_iz = 0; M_Ox(F_i) = 0; M_Oy(F_i) = 0

  Для равновесия пространственной системы параллельных сил необходимо и достаточно, чтобы сумма проекций всех сил на ось, параллельную силам, и суммы их моментов относительно двух других координатных осей были равны нулю.

• Пространственная система сходящихся сил.

  В этом случае, когда линии действия всех сил пересекаются в одной точке (в которую можно поместить начало координат О), их главный момент относительно этой точки равен нулю.

  В результате получаем следующие три уравнения равновесия:

  F_ix = 0; F_iy = 0; F_iz = 0.

  Для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы прекций этих сил на координатные оси Ox, Oy и Oz были равны нулю.

Задачи статики на равновесие тела под действием пространственной системы параллельных или сходящихся сил будут статически определимыми, если в них содержится только три скалярных неизвестных.