Предыдущий уровень изложения текущего раздела   Текущий уровень изложения предыдущего раздела   Текущий уровень изложения следующего раздела   Первый уровень изложения следующего раздела   Уровень:


Равновесие тела под действием плоской системы сил

Пример. Определить реакции шарнирных опор А и В балки, находящейся под действием сосредоточенной силы F = 60 Н, равномерно распределенной нагрузки с интенсивностью q = 15 Н/м и пары сил с моментом М = 40 Н · м; расстояние а = 1 м.

Решение. Введем систему координат Oxy, совместив начало координат О с неподвижным шарниром А и направив осьOx вдоль балки.

Для определения опорных реакций рассмотрим равновесие балки. К ней приложены активные силы: F, пара сил с моментом М и равномерно распределенная нагрузка. Заменим распределенную нагрузку ее равнодействующей Q, равной по модулю Q = q · 2a = 30 Н и приложенной в средней точке участка ее действия.

На балку наложены две связи: неподвижная шарнирная опора в точке А и подвижная шарнирная опора (каток) в точке В. Отбросим мысленно эти связи, заменив их соответствующими реакциями. Реакция RA неизвестна по величине и направлению, поэтому разложим ее на две неизвестные по величине составляющие XA,YA, направленные по координатным осям. Опора в точке В не препятствует ее перемещению вдоль наклонной плоскости и, следовательно, реакцию RB следует направить перпендикулярно наклонной плоскости, то есть эта реакция известна по направлению, но неизвестна по величине.

Таким образом, в задаче имеется три неизвестных скалярных величины: XA, YA, RB. Поскольку для произвольной плоской системы сил имеется три независимых уравнения равновесия, данная задача является статически определимой.

Составим уравнения равновесия балки под действием плоской системы сил, содержащей заданные активные силы и неизвестные реакции связей, в форме (II):

Fix = 0; MА(Fi) = 0; MВ(Fi) = 0.

Эти уравнения равновесия записываются в рассматриваемом примере следующим образом:

Fix = XA - RB sin 30° = 0; (1)

MА(Fi) = - Q · a + F · 2a + M + (RB cos 30°) · 3a = 0; (2)

MВ(Fi) = -YA · 3a + Q · 2a - F · a + M = 0. (3)

Эта форма уравнений в данном случае обладает тем преимуществом, что каждое из двух уравнений моментов не содержит реакций, приложенных соответственно к моментным точкам А и В ( так как их плечи относительно этих точек равны нулю).

Напомним, что алгебраические моменты сил берутся со знаком плюс, если они направлены против хода часовой стрелки. При вычислении момента реакции RB относительно точки А выделена ее вертикальна составляющая, равная RB cos 30° и имеющая плечо 3a, а горизонтальная составляющая имеет нулевой момент относительно точки А.

Из уравнений (2) и (3) находим

RB = ( Q - 2F - M/a )/(3cos 30°) -50.0 Н;

YA = ( 2Q - F + M/a )/3 13.3 Н.

Полученное отрицательное значение RB означает, что сила RB направлена противоположно тому направлению, которое показано на рисунке.

Для проверки можно составить уравнение проекций сил на ось Oy, которое должно удовлетворяться при найденных значениях YA и RB:

Fiy = YA - Q + F + RB cos 30° = 13.3 - 30 + 60 - 43.3 = 0.

Из уравнения (1) находим

XA = RA sin 30° -25 Н.

Знак минус означает, что составляющая XA в действительности направлена в отрицательном направлении оси Ox.

Модуль реакции RA = ( XA2 + YA2 ) 28.3 Н.