|
|
|
|
|
|
||
1.1Примеры на непосредственное интегрирование.
(Непосредственным интегрированием называют нахождение интегралов с использованием свойств и таблицы неопределенных интегралов, а также тождественных преобразований под знаком интеграла).
Пример 1. Найти неопределенный интеграл 
.
Решение.
Применяем формулу , где 
.
Получаем: 
Пример 2. Найти интеграл 
.
Решение.
Подынтегральная функция - это дробь 
. Запишем ее в виде степенной функции, а именно, 
. Затем используем формулу 1 , при 
. Получаем: 
Пример 3. Найти интеграл 
.
Решение.
В подынтегральной функции разделим почленно числитель на знаменатель. Затем воспользуемся свойствами 3, 2 и 1 неопределенного интеграла, а также формулой 1 , преобразовав предварительно , если нужно подынтегральную функцию к виду 
. Получаем:
= 
Замечание. При вычислении интеграла от суммы функций сумму произвольных постоянных, которая при этом получается, заменяют одной произвольной постоянной и обозначают ее буквой С
Пример.4. Найти интеграл 
Решение.
Используя формулу 3 , где a=3, получим: 
Пример5. Найти интеграл 
Решение.
Этот интеграл не является табличным. Преобразуем подынтегральную функцию, используя формулу тригонометрии 
, затем используем свойства неопределенного интеграла и формулу 6 . Получим: 
.
Пример 6. Найти интеграл 
.
Решение.
По формуле 9 , где а=10, 
получаем: 
.
Пример 7. Найти интеграл 
.
Решение.
По формуле 13 , где 
получаем: 
.
Пример 8. Найти интеграл 
.
Решение.
По формуле 12 , где 
получаем: 
.
Пример 9. Найти интеграл 
.
Решение.
Этот интеграл не является табличным. Преобразуем подынтегральную функцию, используя формулы тригонометрии 
Получим: 
.
Смотри свойства 3 и 1 и формулу 8 ,
Пример 10. Найти интеграл 
.
Решение.
Этот интеграл не является табличным. Преобразуем числитель следующим образом: 
, затем разделим числитель на знаменатель почленно. Получим:
(Были использованысвойство I и формула 10 )
Замечание. Прибавление и вычитание в числителе подынтегральной функции некоторой константы - это преобразование, часто применяемое при нахождении интегралов. Например:
