|
|
|
|
2.6.1.c Примеры.
1. Вычислить площадь, ограниченную одним лепестком лемнискаты Бернулли .Решение.
Подставляем уравнение кривой в формулу (1) п.2.6.1.с и, учитывая, что кривая расположена в секторе от = - /4
до = /4 , получим .
Можно было, используя симметрию кривой, интегрировать по промежутку и полученный результат удвоить.
Решение.
Используя симметрию кривой, вычислим площадь фигуры, расположенной в верхней части плоскости. Найдем сначала площадь, ограниченную линией
r = 2 ? cos и осью ОХ: .
Вторая кривая r = cos является окружностью радиуса 1/2. Поэтому площадь внутри круга можно вычислить по формуле . Искомая площадь равна удвоенной разности вычисленных площадей: .
3. Вычислить площадь между кривыми x2+y2=2x, x2+y2=6x, и .
Решение.
Перейдем к полярным координатам по формулам x = r cos , y = r sin . Подставляя эти формулы в уравнения данных линий, получим их уравнения в полярных координатах: , , и . Таким образом нам надо вычислить площадь фигуры, ограниченной дугами двух окружностей и двумя лучами. Будем искать эту площадь как разность двух секторов, лежащих между этими лучами: .