|
|
|
|
|
|
||
Напомним некоторые положения теории вероятности.
а). При бросании кости, на 6 гранях которой нарисованы кружки от 1 до 6, выпадает какая-то одна грань. Выпадение, например, трех очков происходит с вероятностью W=1/6. Сумма вероятностей всех возможных событий равна единице. В процессе бросания кости статистический вес состояния системы Р, или число способов осуществления данного состояния равно 6. Сравнивая параметры W и Р, находим связь между ними
б). Если бросаем две кости, то число различных возможностей равно произведению 6*6=36. Вероятность выпадения тройки на первой кости и четверки на второй равно произведению двух вероятностей (это независимые события), т. е. W1*W2=(1/6)*(1/6)=1/36. В этом случае числа Р для независимых событий также перемножаются, т. е.
Энтропия такой системы равна сумме энтропий
Получим формулу для N молекул методом математической индукции. Для этого сначала рассмотрим возможные распределения четырех молекул по двум ящикам.
Из рис. 1. нетрудно видеть, что возможны следующие 5 состояний системы: 4/0; 3/1; 2/2; 1/3; 0/4, где в числителе - число молекул в первом ящике, а в знаменателе - во втором.
Но число способов реализации этих состояний различно: 1; 4; 6; 4; 1.
Можно заметить, что эти числа являются биноминальными коэффициентами бинома Ньютона
,
.Если N молекул распределены по двум ящикам, то
, (1)Рассмотрим смысл формулы (1): N! - полное число перестановок всех молекул, включающее и перестановки внутри каждого из ящиков, не дающие новых ситуаций. Чтобы исключить такие перестановки, делим N! на число перестановок внутри ящиков N1! и N2! и получаем формулу (1).
Общая формула статистического веса имеет вид:
