	Уровень: Глоссарии:

Фракталы

I. При возникновении порядока в хаотических системах; сосуществовании хаоса и порядка, перехода от одного к другому; конкуренции или взаимоСОдействии в сложных системах есть общий элемент - конкуренция нескольких центров за доминирование на плоскости или их взаимоСОдействие. Обычно не встречается простой структуры границ, чаще имеет место филигранное переплетение и борьба за свои участки. В этой пограничной области происходит переход от одной формы существования к другой, от порядка к беспорядку и наоборот. Порой возникает третий конкурент, который пользуется разногласиями двух других и насаждает свою область влияния.

II. Математический подход к описанию таких процессов в природе дал в 1980 г. французский математик Бенуа Мандельброт, указавший на фрактальную геометрию природы. Фрактальные объекты самоподобны, т. е. их вид не претерпевает существенных изменений при разглядывании их в микроскоп с любым увеличением. О множествах, имеющих такую структуру, говорят, что они обладают геометрической (масштабной) инвариантностью. Процессы, порождающие такие структуры - это процессы с обратной связью, в которых одна и та же операция выполняется снова и снова. Здесь результат одной итерации является начальным условием для следующей, причем требуется нелинейная зависимость между результатом и начальным значением, т. е. динамический закон x_n+1 = f(x_n, С) более сложный, чем линейный x_n+1 = kx_n.

III. Существует важная количественная характеристика фрактальных объектов - дробная размерность. Рассмотрим некоторое множество А и попытаемся полностью покрыть его отрезками, квадратиками или гиперкубами со стороной . Пусть N - минимальное число кубиков или квадратиков, необходимых для покрытия А. Рассмотрим предел

. Величина d(А)=dF называется фрактальной размерностью.

Рис. 1 Покрытие объекта (множества точек) кубами с длинной ребра : а) одномерный объект, б) двумерное пространство.