|
|
|
|
Если заданное вычисление является хорошо обусловленной, то все три метода Гаусса могут дать одинаковые результаты с небольшой погрешностью, связанной с вычислениями.
Если заданное значение плохо обусловлена, все три метода будут давать разные результаты. Принимаемый в этом случае результат - полученный оптимальный метод Гаусса.
Метод Гаусса (исключение неизвестных)
Пример работы алгоритма Гаусса.
Нужно умножить 1-ое уравнение на 3-е, разложить на множители и вычесть результат из 2-го, 3-го и 4-го уравнений.
Получим, что коэффициент при первом неизвестном обратится в ноль.
Обозначим
Имеем
В итоге получим все уменьшающуюся систему с уменьшающимся числом переменных. Шагов в методе Гаусса на одно меньше, чем уравнений. После третьего шага имеем следующую систему уравнений.
Второй этап метода Гаусса.
Обратный ход вычислений неизвестных (начиная с последнего уравнения). На любом шаге возможно обращение в ноль делителя во множителях Р.
Это происходит из-за того, что в матрице были или есть линейно зависимые строки или столбцы.
Считают, что метод Гаусса - самый быстрый метод, очень хорош с точки зрения накопления погрешностей (близок к идеальному, погрешность накопления медленная). Это верно, если ситуация обрабатывается правильно.
n - ориентировочная размерность.
Kп - коэффициент усиления погрешности.
n | 5 | 10 | 20 | 50 | 100 |
Kn | 5.7 | 18 | 69 | 536 | 3552 |
С точки зрения вычислений число, близкое к нулю
А чтобы определить,близко ли к 0, нужно сравнить его с самым ближайшем к 0 числом в данной задаче.
Тогда на аkk - делить нельзя, хоть он и не ноль. В этом случае на R-ом шаге мы должны вычеркнуть данное уравнение, используя модифицированный метод Гаусса.