Главный вектор и главный момент пространственной системы сил

Пример. К вершинам куба с длиной ребра a приложена система четырех сил, действующих вдоль ребер куба и имеющих одинаковые модули: F₁ = F₂ = F₃ = F₄ = F.

Определить главный вектор этой системы сил и ее главный момент относительно вершины О.

Решение. Введем координатную систему Oxyz, оси которой ориентированы вдоль ребер куба.

Силы F₃, F₄ образуют пару сил с векторным моментом M₃₄, направленным в положительном направлении оси Ox (точка приложения вектора M₃₄ может быть выбрана произвольно) и равным по модулю M₃₄ = F · a. Следовательно, силы F₃ и F₄ можно не учитывать при вычислении проекций главного вектора R.

Определяем проекции главного вектора R:

R_х = F_1x + F_2x = 0 - F₂ = -F;

R_y = F_1y + F_2y = 0;

R_z = F_1z + F_2z = F + 0 = F.

Вычисляем проекции главного момента L_O относительно точки О, определяя осевые моменты сил F₁ и F₂ геометрическим методом (напомним, что момент силы относительно оси равен нулю, если сила и ось лежат в одной плоскости) и проецируя векторный момент M₃₄ на оси координат:

L_Ox = M_Ox(F₁) + M_Ox(F₂) + (M₃₄)_x = 0 + 0 + M₃₄ = F a;

L_Oy = M_Oy(F₁) + M_Oy(F₂) + (M₃₄)_y = 0 + 0 + 0 = 0;

L_Oz = M_Oz(F₁) + M_Oz(F₂) + (M₃₄)_z = 0 + F · OA + 0 = F a;

Модуль L_O = (L_Oх + L_Oy + L_Oz) = · F · a.

Таким образом, для заданной системы сил ее главный вектор R и главный момент L_O относительно точки О равены по модулю R = · F; L_O = · F · a, лежат в плоскости Oxz и образуют с осью Oz углы в 45° (см. рис.).