|
|
|
|
|
|
||
Глава IV. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
1. КРИВОЛИНЕЙНЫЕ ИНТЕГРАЛЫ ПЕРВОГО ТИПА
Рассмотрим пространственную кусочно-гладкую кривую L, ограниченную точками А и В (рис. 4.1), и определенную на ней непрерывную функцию f(x,у,z)=f(M), где М(х,у,z) - точка кривой. Дугу АВ разобьем точками M1, M2, ..., Мn-1 на n элементарных дуг Mi-1Мi (i= 1, 2, 3, ... , n, М0=A, Mn=B), длины которых обозначим соответственно через 
.
На каждой из элементарных дуг Mi-1Mi выберем произвольно точку Мi(xi,уi, zi) и составим сумму
(4.1)
называемую интегральной суммой по кривой L функции f(x,у,z).
Криволинейным интегралом первого типа от функции f(х, у, z) по кривой L называется предел интегральной суммы (1.1) при 
и max 
:
(4.2)
На кривой L, целиком лежащей в плоскости Оху, функция f от координаты z не зависит, поэтому по определению
(4.3)
Если подынтегральную функцию f > 0 рассматривать как линейную плотность кривой интеграции L, то криволинейный интеграл первого типа представляет собой массу кривой L.
Вычисление криволинейного интеграла первого типа сводится к вычислению определенного интеграла.
Если пространственная кривая L задана параметрическими уравнениями
, 
, 
то
(4.4)
так как в этом случае дифференциал дуги 
.
Если кривая L лежит в плоскости Оху, то
(4.5)
В частности, для плоской кривой, заданной уравнением у=у(х), где 
, имеем
, поэтому
(4.6)
В случае, если кривая задана соотношением 
, имеем 
, 
и тогда 
.
Если плоская кривая задана уравнением 
в полярных координатах, то 
и
(4.7)
Основные свойства криволинейного интеграла первого типа:
1)по самому определению криволинейный интеграл первого типа не зависит от направления пути интегрирования:
;
2) 
;
3) 
(c=const);
4) если путь интегрирования L разбит на части L1, L2, ... , Ln, то
.
Приведенные теоретические положения используются при рассмотрении примеров (см. также задачи для самостоятельного решения )