Предыдущий уровень изложения текущего раздела   Текущий уровень изложения предыдущего раздела   Текущий уровень изложения следующего раздела   Первый уровень изложения следующего раздела   Уровень: Глоссарии:


Исключение ошибок (промахов и систематических погрешностей), обработка результатов

Надежность эргономической системы, в которую входят человек, окружающая среда, объект измерений и средство измерений, не безгранична. В ней могут происходить сбои, отказы аппаратуры, скачки напряжения в сети питания, сейсмические сотрясения, отвлечение внимания оператора, описки в записях и многое другое, не имеющее отношения к измерениям. В результате появляются ошибки , вероятность которых, как следует из теории надежности больших систем, не так уж мала. При однократном измерении ошибка может быть обнаружена только путем логического анализа или сопоставления результата с априорным представлением о нем. Установив и устранив причину ошибки, измерение можно повторить. При многократном изменении одной и той же величины постоянного размера ошибки проявляются в том, что результаты отдельных измерений заметно отличаются от остальных. Иногда это отличие настолько большое, что ошибка очевидна. Остается понять и устранить ее причину или просто отбросить этот результат как заведомо неверный. Если отличие незначительное, то это может быть следствием, как ошибки, так и рассеяния отсчета, а, следовательно, показания и результата измерения, которые, согласно основному постулату метрологии, являются случайными. Нужно поэтому иметь какое-то правило, руководствуясь которым принимать решения в сомнительных случаях. После того, как все влияющие факторы учтены, и все поправки в показания внесены, рассеяние результатов при многократном измерении одной и той же физической величины постоянного размера нередко бывает следствием множества причин, вклад каждой из которых незначителен по сравнению с суммарным действием всех остальных. Центральная предельная теорема теории вероятностей утверждает, что результат измерения при этом подчиняется так называемому нормальному закону:



кривые плотности распределения вероятности которого при различных значениях дисперсии показаны на рис. 15.



Рис.15. Графики плотности распределения вероятности отсчета при различных дисперсиях.


Интегральная функция нормального закона распределения:





Если условия центральной предельной теоремы выполняются, то весь массив экспериментальных данных при многократном измерении одной и той же величины постоянного размера должен группироваться около некоторого среднего значения, и выпадение какого-нибудь отдельного результата из этого массива позволяет предположить, что он ошибочный. Найдем вероятность, с которой значение случайного числа, подчиняющегося нормальному закону распределения вероятности, должно находиться в пределах от x1 до x2 :



Интегралы в этом выражении не могут быть выражены через элементарные функции. Более того, для интегральной функции нормального закона распределения нет ни таблиц, ни графиков, так как с их помощью невозможно охватить все многообразие возможных значений и x2 . Произведем поэтому замену переменной:



Учитывая, что после такой замены , получим



Теперь интересующая нас вероятность выражена через разность значений интегральной функции, соответствующей плотности распределения:



характеризующей так называемый нормированный нормальный закон. Дифференциальная и интегральная функции его показаны на рис.23, а числовые характеристики: Z=0 ; x2 = 1.



Рис.23. Дифференциальная (a) и интегральная (b) функции нормированного нормального закона распределения вероятности.


Из рис.23, b видно, что: F(z) = 1 - F(-z).

Эта функция, связанная с интегралом вероятности - функцией Лапласа L( z) - соотношением:

F(z) = 1/2 + L(z).


табулирована в диапазоне "z" значений от 0 до 3,3, за пределами которого в сторону больших "z" практически неотличима от 1. Если выбрать z2 = -z1 и обозначить эту величину через t, что будет соответствовать, как это показано на рис.24



Рис. 24. Выбор параметра t.


выбору границ интервала [ x1 ; x2 ], равно отстающих от среднего значения на ± t x , т.е.:

x1 = - t x ;
x2 = + t x ;


то окончательно получим:

P{ - t x x + t x } = 2F(t) - 1 = 2L(t).


По табличным значениям функций, входящих в это уравнение, построен график на рис. 25. Параметр t играет в метрологии важную роль. Он показывает, на сколько x с заданной вероятностью может отличаться случайное число, подчиняющееся нормальному закону распределения вероятности, от своего среднего значения. Так, например, из графика на рис.25 видно, что с P= 0.5 на ± 2/3 x ; с P = 0.68 на ± x ; c P=0.95 на ± 2 x; с P = 0. 99 на ± 2.6 x ; с P = 0.997 на ± 3 x. Эта вероятность называется доверительной, интервал[ - t x ; + t x ] - доверительным интервалом, а его границы x1 и x2 - доверительными границами. Из графика следует, что доверительный интервал зависит от доверительной вероятности. С очень высокой вероятностью 0,997 все значения случайного числа, подчиняющегося нормальному закону, должны группироваться в пределах доверительного интервала ± 3 x.

На этом основании можно сформулировать следующее правило: если при многократном измерении одной и той же физической величины постоянного размера сомнительный результат отдельного измерения отличается от среднего значения больше, чем на 3 q , то с вероятностью 0,997 он является ошибочным и его следует отбросить. Это правило называется "правилом трех сигм" . Можно, конечно, принимать решения и с меньшей вероятностью. На практике, однако, преимущественное распространение получило "правило трех сигм". Условием его применения служит уверенность в том, что результат измерения подчиняется нормальному закону распределения вероятности. Если такой уверенности нет, то указанное обстоятельство следует проверить. Так как ошибка искажает закон распределения вероятности результата измерения, то проверка его нормальности производится после исключения ошибки. Как это делается, будет подробно рассмотрено в конце настоящей главы. В некоторых случаях известно заранее, что результат измерения подчиняется равномерному закону распределения вероятности. Например, из-за люфтов и трения в опорах подвижной части измерительного механизма он с равной вероятностью может отличаться от среднего значения на любое значение в пределах общего люфта. Последний обычно известен, так что появление больших отклонений может быть следствием только ошибок. Без дополнительной проверки они должны быть отброшены.



Рис. 25. Вероятность попадания отдельного значения случайного числа, подчиняющегося нормальному закону распределения вероятности, в окрестность среднего значения.