Предыдущий уровень изложения текущего раздела   Текущий уровень изложения предыдущего раздела   Текущий уровень изложения следующего раздела   Следующий уровень изложения текущего раздела   Уровень:


Дифференциальное уравнение импульсов

4.1 Вязкость ньютоновских и неньютоновских жидкостей

На рис.4.1 представлены две плоскости жидкости, отстоящие друг от друга на расстояние y, и движущиеся с разными скоростями V и V + V. При y 0 между слоями жидкости возникают касательные напряжения: это сила на единицу площади, которую надо приложить к плоскости, чтобы поддержать постоянную скорость.





Согласно закону о трении Ньютона

= * V/ y, или = *dV/dy, (4.1)
где коэффициент пропорциональности - динамическая вязкость жидкости, единица измерения которой равна
Н/м2 = *м/(с*м), то есть [ ] = Н*c/м2.

Кроме динамической вязкости жидкости употребляется так называемая кинематическая вязкость

= / (4.2) [ ] = м2/c.

Для очень вязких жидкостей (вазелин, асфальт, нефть и другие) зависимость между касательным напряжением и нормальной производной скорости V/ y имеет более сложный вид

= k( V/ y)n, (4.3)
где n - эмпирический показатель степени.

Жидкости, касательное напряжение которых описывается уравнением (4.3), называют ньютоновскими жидкостями.

4.2 Силы, действующие на объем движущейся жидкости

Определение. Движущейся объем dxdydz жидкости подчиняется второму закону Ньютона

Fx = Max = MVx/ = MdVx/d = dxdydzdVx/d , (4.4)
где Fx - сила в направлении x, приложенная к объему жидкости массой M, Vx - скорость движения этого объема, ax - ускорение этого объема.

Результирующая сила складывается из так называемой массовой силы dFxм и силы, вызывающей механическое напряжение на поверхности элемента dFнапр

dFx = dFxм + dFнапр.(4.5)

Массовая сила действует на весь объем жидкости; она может быть вызвана гравитацией

dFxм = gcos dxdydz = Xdxdydz,(4.6)
где - угол между осью x и направляющей действия силы тяжести.

Рассмотрим механические напряжения, возникающие со стороны окружающей жидкости. На рис.4.2 представлен элемент жидкости, на каждой грани которого возникают механические напряжения, причем из-за разности скоростей плоскостей объема направление этих сил противоположно. Каждое из напряжений может быть разложено на три составляющие параллельные трем осям



.
Примем следующие обозначения:
первый индекс - грань, на которую действует сила, указывает ось, перпендикулярную грани;
второй индекс - направление, в котором действует сила.
Смешанные индексы (xy) - касательные напряжения; одинаковые индексы (xx) - нормальные силы (напряжения).
Положительным направлением будем считать растягивающие нормальные напряжения. При стремлении элемента к нулю напряжения на противоположных гранях становятся равнымипо величине и противоположными по знаку. Например, на грань x действуют напряжения xx, xy, xz (рис.4.3).

Поэтому напряженное состояние в точке характеризуется заданием шести касательных и трех нормальных напряжений, причем

xy = yx, xz = zx, yz = zy.(4.7)
Давление связано нормальным напряжением соотношением
- p = 1/3( xx + yy + zz). (4.8)
Условились считать положительное давление для сжатия, а напряжения положительны при растяжении, этим вызван знак (-) в уравнении (4.8).

4.3 Уравнение движения (импульсов) в напряжениях

Рассмотрим снова рис.4.1 и выпишем выражение для x-компоненты силы, которая вызывает изменение напряжения

.
К этой силе добавим массовую силу (4.6) и подставим в (4.5)
.(4.9)
По аналогии запишем подобные выражения для других осей
.(4.10)
Уравнения (4.10) связывают скорости Vi с напряжениями ij и носят название уравнений движения в напряжениях.

4.4 Связь напряжений с вязкостью

Известно, что упругие тела деформируются в соответствии с законом Гука (напряжение пропорционально деформации), но для жидкостей напряжение пропорционально скорости деформации

= (dvx/dy).(4.11)
При более сложных деформациях скорость деформации удобно определять как скорость изменения угла , показанного на рис.4.4.
,

Для одномерного слуая изменение угла (в радианах) за время d есть d , и его можно выразить как величину дуги dVx/dy, деленную на радиус dy, то есть

,
поэтому скорость деформации
d /d = - dVx/dy.(4.12)
Подставим (4.12) в (4.11) и полуим следующее выражение для xy:
xy = d / d . (4.13)

Рассмотрим теперь деформацию элемента (рис.4.:) и используем уравнение (4.13). На рисунке показана деформация, которую вызывают напряжения, действующие на гранях, перпендикулярных плоскости xy. Видно, что изменения угла складываются из двух частей: первая равна (- Vx / y) d , а вторая - ( Vy/ x)dy, получаем

/ = - ( Vx/ y + Vy/ x).
Подставим это значение / в уравнение (4.13)
xy = yx = (( Vx/ y + Vy/ x)).(4.14)

Аналогично получим другие касательные напряжения
xz = zx = (( Vx/ z + Vz/ x)),
yz = zy = (( Vy/ z + Vz/ y)).(4.15)

4.5 Нормальные напряжения

По определению (4.8) имеем

- p = 1/3( xx + yy + zz).
Представим нормальное напряжение как бы состоящим из двух частей: первая часть обусловлена давлением, вторая - деформацией элемента жидкости в этом направлении
xx = -p + x. (4.16)
Велиина p определена уравнением (4.8), используем его совместно с уравнением (4.16)
x = xx + p; xx = xx - 1/3( xx + yy + zz);
откуда
x = 2/3 xx - 1/3( yy + zz);
Удобно разделить x на две части
x = 1/3( xx + yy)+ 1/3( xx + zz).
Аналогично введем уравнения для y и z, затем подставим выражения для i в уравнение (4.16) и получим
.(4.17)
Дальнейшие выкладки довольно громоздки, но после всех преобразований, которые приведены в [:], получим следующие выражения для нормальных напряжений
(4.18)

4.6 Уравнение Навье-Стокса или уравнение движения

Подставим уравнения (4.14), (4.15) и (4.18) в уравнение (4.10); тогда получим после преобразований уравнение движения

(4.19)
Аналогично можно записать уравнения для осей y, z. Эти уравнения называются уравнениями Навье-Стокса или движения. В дальнейшем в основном будет рассматриваться несжимаемая жидкость, для которой справедливо уравнение неразрывновсти
и уравнение Навье-Стокса принимает более простой вид
(4.20)
Аналогично будут выглядеть уравнения для осей y и z. Многие технические задачи могут быть упрощены (например, несжимаемые жидкости, одномерные задачи и так далее). Запишем выражение (4.19) в векторной форме
(4.21)
Если вязкость мала =0 и жидкость несжимаема, то уравнение существенно упрощается, так как и
(4.22)
Это уравнение было полученло Эйлером и носит его имя.