Задача n42c1 Решение. Применив формулу (2.2) синуса разности, получим
Далее, используя формулы двойного аргумента (3.1), (3.2) и тождества (9.1), (9.3) для обратных тригонометрических функций, будем иметь
Наконец, приняв во внимание, что
найдем значение q, воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством (1.1)
Задача n42c2 Решение.
В самом деле, по определению арксинуса и арккосинуса справедливы неравенства:
Таким образом, сумма указанных углов принадлежит интервалу, на котором косинус монотонно убывает. Следовательно, мы докажем равенство, если установим, что значения функции косинус от левой и правой частей доказываемого равенства совпадают. Применив формулу косинуса суммы (2.3) и тождества (9.1), (9.3) для арксинуса и арккосинуса, получим
Далее, используя формулы двойного аргумента (3.1), (3.2) и тождества (9.1), (9.3) для обратных тригонометрических функций, будем иметь
Наконец, приняв во внимание, что
найдем значение q, воспользовавшись основным тригонометрическим тождеством (1.1)
Задача n42c3 Решение.
эти углы принадлежат интервалу, на котором тангенс монотонно возрастает. Воспользовавшись формулами тангенса двойного аргумента (3.3) и тангенса разности (2.6), вычислим значения функции тангенс от обеих частей доказываемого равенства
В завершение доказательства, заметим, что из равенства тангенсов,в силу монотонности, следует и равенство самих углов.
