|
|
|
|
Рассмотрим методы вычисления скорости и ускорения точки, если ее движение в пространстве задано в декартовых прямоугольных координатах уравнениями x = x(t); y = y(t); z = z(t).
Определение скорости точки
Проекции скорости точки на координатные оси равны первым производным от соответствующих координат точки по времени:
vx = dx / dt; vy = dy / dt; vz = dz / dt;
илиvx = ; vy = ; vz = ,
где точка над координатой означает символ дифференцирования по времени.Модуль и направляющие косинусы (косинусы углов, которые образует вектор v с координатными осями Ox, Oy, Oz) вектора v выражаются через его проекции по следующим формулам:
v =( vx2 + vy2 + vz2) ; cos(v,Ox) = vx / v; cos(v,Oy) = vy / v; cos(v,Oz) = vz / v.
Определение ускорения точки
Проекции ускорения точки на координатные оси равны первым производным от проекций скорости или вторым производным от соответствующих координат точки по времени:
ax = dvx / dt = d2x / dt2; ay = dvy / dt = d2y / dt2; az = dvz / dt = d2z / dt2;
илиax = x= ; ay = y= ; az = z= ;
Модуль и направляющие косинусы вектора ускорения a выражаются через его проекции по следующим формулам:
a =( va2 + ay2 + az2) ; cos(a,Ox) = ax / a; cos(a,Oy) = ay / a; cos(a,Oz) = az / a.
Замечание. В случае, когда движение точки происходит в плоскости Oxy, в приведенных формулах должны быть отброшены прекции на ось Oz.
В случае же прямолинейного движения, которое задано одним уравнением x = x(t), проекции и модули скорости и ускорения точки определяются по формулам:
vx = ; v = |vx|; ax = x = ; a = |ax|.
Типичные задачи, решаемые методами кинематики точки, состоят в определении траектории, скорости или ускорения точки. Для решения такой задачи требуется установить прежде закон движения точки. Этот закон может быть непосредственно задан в условиях задачи ( Пример ) или же определяется из этих условий.