Равновесие тела под действием пространственной системы сил

Пример. На горизонтальный изогнутый стержень ABCD, закрепленный в заделке А, действуют три равные по модулю силы F₁ = F₂ = F₃ = F, направленные вдоль координатных осей Ox, Oy, Oz. Даны расстояния AB = a, BC = b, CD = c; c = b = a.

Определить реакцию заделки А.

Решение. Для определения опорных реакций рассмотрим равновесие стержня. К нему приложены активные силы F₁, F₂, F₃ и реакции в заделке А. Поскольку жесткое защемление (заделка) не позволяет перемещаться точке А стержня и поворачиваться вокруг нее, то в заделке действуют неизвестные по величине и направлению сила R_A и пара сил с векторным моментом М_A. Разложим вектор R_A на составляющие X_A, Y_A, Z_A по координатным осям, а векторный момент M_A разложим на осевые моменты M_Ax, M_Ay, M_Az (все шесть этих величин показаны на рисунке в положительном направлении).

Составим шесть уравнений равновесия:

F_ix = X_A - F₁ = 0;

F_iy = Y_A - F₂ = 0;

F_iz = Z_A - F₃ = 0;

M_Ox = M_Ax - F₃ · ( a + c ) = 0;

M_Oy = M_Ay + F₃ · b = 0;

M_Oz = M_Az + F₁ · a - F₂ · b = 0.

Из каждого уравнения находим по одной неизвестной с учетом равенств c = b = a:

X_A = F₁ = F; Y_A = F₂ = F; Z_A = F₃ = F;

M_Ax = F · 2a; M_Ay = -F · a; M_Az = 0.

Сила R_A и момент M_A равны по модулю:

R_A = ( X_A² + Y_A² + Z_A²) = F;

M_A = ( M_Ax² + M_Ay² + M_Az²) = Fa.