	Уровень:

Определение определенного интеграла

2.1 Определение определенного интеграла.

Пусть дана функция y = f(x), определенная на промежутке [а,b]. Разделим промежуток [а,b] на n частей точками {x_n} такими, что

a = x₀ < x₁ <x₂<<x_n= b. На каждом промежутке [x_i-1 , x_i ] i=1,2 n выберем произвольным образом точку и составим сумму , где x_i = x_i ?x_i-1 . Такую сумму будем называть интегральной суммой.

Обозначим через , который мы будем называть диаметром разбиения. Тогда определенным интегралом от функции f(x) по промежутку [a,b] будем называть , если он существует и не зависит от способа разбиения и выбора точек .

Если такой предел существует, то функция называется интегрируемой на промежутке [a,b]. Нетрудно доказать, что если функция интегрируема, то она ограничена на этом промежутке.

Ясно, что условие стремится к 0 может быть выполнено только, если n стремитсЯ к бесконечности,но эти условия не равносильны, так как можно увеличивать число точек деления n, оставляя один или даже несколько промежутков неизменными.

Упражнения

Рассмотрим геометрический смысл этого определения. Для этого допустим, что . Очевидно, что каждое слагаемое этой суммы равно площади прямоугольника с высотой и основанием Δx_i , а вся интегральная сумма равна площади ступенчатой фигуры, составленной из этих прямоугольников. Также очевидно, что площадь каждого прямоугольника близка к площади полосы, вырезанной из криволинейной трапеции, ограниченной графиком данной функции, осью OX и прямыми x = a и x = b, поэтому площадь ступенчатой фигуры близка к площади всей трапеции, причем, чем меньше диаметр разбиения (длина максимального основания прямоугольника), тем ближе эти площади. Таким образом, предел интегральной суммы, то есть интеграл, равен площади указанной криволинейной трапеции.

Замечание. Если использовать аналогичные рассуждения для функции на промежутке [a,b], ясно, что интеграл от такой функции будет отрицательным и равным величине, противоположной площади указанной трапеции. Для функции, которая принимает на промежутке значения разных знаков, интеграл будет равен разности площадей, лежащих выше оси абсцисс и площадей, лежащих ниже нее.