|
|
|
|
|
|
||
1.3 Интегрирование рациональных дробей
Рациональной дробью будем называть выражение вида 
, где 
и 
- многочлены степени n и m соответственно. Если 
, дробь называется неправильной, если 
, дробь будем называть правильной. Неправильную дробь можно представить в виде 
, где 
- многочлен степени 
, который обычно называют целой частью данной дроби. Чтобы найти целую часть нужно разделить на с остатком, тогда - неполное частное, а 
- остаток от деления, представляющий из себя многочлен степени меньшей чем m. При интегрировании неправильной дроби из нее выделяют целую часть и тогда задача сводится к интегрированию правильной дроби.
Прежде чем рассматривать метод интегрирования правильных дробей рассмотрим частный случай таких дробей, которые называются простейшими дробями, а именно:
; 
; 
; 
причем в последних двух дробях 
, то есть квадратный трехчлен, стоящий в знаменателе не имеет вещественных корней.
Интегрирование дробей первых двух типов не представляет никакой сложности:
Для интегрирования простейших дробей третьего и четвертого типов выделим полный квадрат из квадратного трехчлена, стоящего в знаменателе 
так как, по условию, 
, то можно обозначить 
.
Рассмотрим сначала 
. Сделаем в нем замену переменной 
, тогда 
, 
, где 
и 
Следовательно 
.
Теперь рассмотрим интеграл от дроби четвертого типа 
.
После замены переменной получим
первый из этих интегралов вычислим подведением функции под знак дифференциала: 
Во втором интеграле можно понизить степень k путем интегрирования по частям.
Для этого сначала преобразуем данный интеграл, представив числитель дроби следующим образом: 
В первом интеграле степень k понижена на 1, а второй проинтегрируем по частям, положив 
, 
. Тогда 
, 
и
обозначая 
, получим формулу 
откуда
применяя этот метод несколько раз, можно "спуститься" до табличного интеграла 
.
Ниже будет рассмотрен другой случай интегрирования такой дроби.
Теперь вернемся к дробям общего вида. Для правильной дроби имеет место теорема:
Каждая правильная дробь 
может быть представлена в виде суммы простейших дробей.
Для этого представления используем следующие правила:
5. Разложим знаменатель на вещественные множители, то есть запишем его в виде: 
, где 
и все квадратные трехчлены имеют комплексные корни.
(1)При написании этого разложения для каждого множителя вида 
пишут k дробей вида 
, где t меняется от 1 до k и для каждого множителя вида 
пишут r дробей вида 
, где t также меняется от 1 до r.
7. Разложение, о котором говорилось выше пишется в неопределенных коэффициентах, после чего надо найти эти коэффициенты. Для этого написанное разложение вновь приводят к общему знаменателю, выбирая наименьший общий знаменатель. Тогда, если знаменатель полученной дроби равен знаменателю данной, то числители их тоже должны совпадать. Остается только воспользоваться одним из условий равенства двух многочленов. Мы знаем два таких условия:
1) Многочлены равны, если равны коэффициенты при одинаковых степенях.
2) Многочлены равны, если они равны при любых значениях аргумента.