Равновесие системы тел под действием плоской системы сил

Задачи статики могут сводится к рассмотрению равновесия конструкции из системы тел, соединенных какими-либо связями. Связи, соединяющие части данной конструкции, называют внутренними в отличие от внешних связей, скрепляющих конструкцию с телами, в нее не входящими ( например с опорами).

Если после отбрасывания внешних связей (опор) конструкция остается жесткой, то для нее задачи статики решаются как для абсолютно твердого тела. Если же после отбрасывания внешних связей конструкция не остается жесткой, то ее следует рассматривать как систему твердых тел с наложенными на них внутренними связями.

Примером такой конструкции может служить система двух тел (треугольников), скрепленных между собой шарниром С (внутренняя связь). Если мысленно отбросить неподвижные шарнирные опоры А и В (внешние связи), то конструкция не будет жесткой, поскольку треугольники могут поворачиваться вокруг шарнира С.

На основании принципа отвердения система сил, действующих на такую конструкцию, должна при равновесии удовлетворять условиям равновесия твердого тела. Но эти условия, являясь необходимыми, не будут являться достаточными. Из них нельзя определить все неизвестные величины и для решения задачи необходимо дополнительно рассмотреть равновесие какой-нибудь одной или нескольких частей конструкции.

Например, составляя условия равновесия для сил, действующих на всю данную конструкцию (на рисунке активные силы, действующие на нее, не показаны) получаем три уравнения равновесия с четырьмя неизвестными X_A,Y_A,X_B,Y_B. Рассмотрев дополнительно условия равновесия левого (или правого) треугольника, получаем еще три уравнения, содержащие две новых неизвестных X_C,Y_C - проекции реакции шарнира С (на рисунке не показаны). Решая полученную систему шести уравнений, можно найти все шесть неизвестных.

Другой способ решения подобных задач состоит в том, что конструкцию сразу разделяют на отдельные твердые тела и составляют уравнения равновесия каждого из тел в отдельности. При этом реакции внутренних связей будут попарно равны по модулю и противоположны по направлению. Для конструкции из N тел, на каждое из которых действует произвольная плоская система сил, получится таким образом 3N уравнений, позволяющих найти 3N неизвестных (при других системах сил число уравнений соответственно изменится).

Составление уравнений равновесия для каждого тела и последующее их объединение в одну систему алгебраических уравнений может быть выполнено матричным методом.

Если для конструкции число всех реакций внешних и внутренних связей будет больше числа уравнений, в которые эти реакции входят, то конструкция будет статически неопределимой.