|
|
|
|
2.1 Решения.
Если разделить промежуток [0,1] на n равных частей, то получим: , . Тогда , так как .
Устремляя , получим .
Разделим промежуток интегрирования на n равных частей. Так как длина его равна 3, то длина каждой части будет и, очевидно, будет стремиться к нулю при . Тогда точки деления будут иметь координаты . Так как точки , по условию, находятся в середине отрезков , то и . Теперь вычислим интегральную сумму .
Учитывая, что , получим: .
Теперь можно вычислить предел этой суммы
Разделим промежуток [1,2] на n равных частей. Тогда длина каждой части будет равна 1 / n и точки деления будут иметь координаты , где i = 0,1,:n. Левый конец i-i-го промежутка и .
Составим интегральную сумму .
Переходя к пределу, получим .
Если данный промежуток, длина которого равна двум, разделить на n равных частей, то длина каждой части будет равна 2 / n и координаты точек деления будут: , где i = 0,1,:n. Выберем в качестве точек правый конец i-го промежутка, тогда и . Под знаком суммы стоит геометрическая прогрессия со знаменателем . Поэтому .
Вспоминая , что , получим .
Так как функция интегрируема, если предел интегральной суммы один и тот же независимо от способа деления промежутка на части и выбора промежуточных точек , то достаточно указать два набора точек, при которых пределы будут различными.
Разделим промежуток интегрирования на равные части, длина каждой из которых будет 1/ n. Так как на каждом промежутке можно найти как рациональную точку, так и иррациональную, то сначала в качестве точек возьмем рациональные точки. Тогда и . Затем выберем в качестве точек иррациональные точки. Тогда и , что и доказывает данное утверждение.
Рассмотрим промежуток интегрирования [0,1]. Возьмем функцию .
Как в задаче 5 , разделив промежуток интегрирования на равные части и выбрав в качестве промежуточных точек сначала рациональные точки, а затем иррациональные, получим интегральную сумму , равную 1 и -1, соответственно.
Очевидно, что функция интегрируема.