Последний уровень раздела предыдущего изложения   Текущий уровень изложения предыдущего раздела   Текущий уровень изложения следующего раздела   Первый уровень изложения следующего раздела   Уровень: Глоссарии:


Приближение коротких длин волн. Уравнение эйконала



4.1. Приближение коротких длин волн. Уравнение эйконала

Геометрическая оптика - это раздел оптики, в котором считается, что длина волны пренебрежимо мала . Основа геометрической оптики - это уравнение эйконала* . Его можно получить из волнового уравнения для комплексной амплитуды (уравнения Гельмгольца) (1.3.26).

Вначале рассмотрим известные из математики тождества, справедливые для некоторой функции , заданной в экспоненциальной форме :

      (4.1.1)

      (4.1.2)



Таким образом:

      (4.1.3)

Пусть теперь - это комплексная амплитуда, которая представлена в виде:

      (4.1.4)



Тогда, применив преобразование (4.1.3), получим следующее выражение:

      (4.1.5)

отсюда:

      (4.1.6)



В итоге получим следующее уравнение:

      (4.1.7)

или:

      (4.1.8)



Поскольку в левой части уравнения (4.1.8) - комплексное число, то равенство нулю правой части предполагает равенство нулю как вещественной, так и мнимой частей этого комплексного числа. Нас интересует вещественная часть:

      (4.1.9)



Перепишем это уравнение в виде:

где , или:

      (4.1.10)



Применим к уравнению (4.1.10) приближение коротких длин волн. Если длина волны стремится к нулю , то в правой части уравнения получается величина, близкая к нулю. Отсюда можно получить уравнение эйконала* :

        (4.1.11)
или:

      (4.1.12)

Из уравнения эйконала следует, что геометрическая оптика применима только для коротких длин волн. Чем короче длина волны, тем точнее приближение геометрической оптики.