Магнитной цепью называют совокупность тел или сред, по которым замыкается магнитный поток.

Для любого участка магнитной цепи можно получить выражение, устанавливающее связь между магнитным потоком, МДС, действующей в данной цепи, а также ее геометрическими размерами, пользуясь понятием магнитного потока и законом полного тока.

Пусть имеется цилиндрическая катушка с числом витков w, по которым протекает ток i (рис. 1). Выделим трубку магнитного потока, охватывающую все витки катушки, и определим МДС вдоль ее контура

,

(1)

но в изотропной среде направление векторов B и H совпадает. Поэтому вектор H направлен по касательной к оси трубки и cosa =1. Отсюда

.

(2)

В тоже время, элементарный магнитный поток, проходящий через сечение перпендикулярное оси трубки, и напряженность магнитного поля равны

.

(3)

Подставим полученное выражение для напряженности в выражение (2) и с учетом того, что элементарный поток dФ вдоль трубки имеет постоянное значение, получим

.

(4)

Если распространить приведенные рассуждения на весь магнитный поток катушки, то при условии, что размеры сечений магнитных трубок существенно меньше их длины, из выражения (4) будем иметь:

,

(5)

где величина называется магнитным сопротивлением. В этом выражении m - абсолютная магнитная проницаемость среды; l - длина средней линии, т.е. линии проходящей через центр поперечного сечения магнитопровода s. Магнитное сопротивление измеряется в [Гн-1]

В выражении (5) магнитный поток Ф связан с МДС F и магнитным сопротивлением Rm аналогично тому, как связаны между собой электрический ток, ЭДС и сопротивление в выражении закона Ома. Однако сходство между этими законами чисто формальное, т.к. они существенно различаются между собой. Электрическое сопротивление может быть бесконечно большим и в этом случае возможно существование ЭДС без протекания электрического тока в цепи. Магнитное сопротивление всегда конечно и наличие МДС означает одновременное обязательное существование магнитного потока.


ЗАДАЧА 1

ЗАДАЧА 2


Обычно для расчета магнитных цепей применяют закон полного тока. Если разбить магнитную цепь на участки так, чтобы в пределах каждого из них площадь поперечного сечения и магнитная среда были одинаковыми, то можно считать, что магнитный поток проходит по каждому участку вдоль его средней линии. При этом индукция в пределах каждого участка будет постоянной, следовательно, постоянной будет и напряженность магнитного поля. Тогда в левой части выражения (2) интеграл вдоль замкнутого контура, проходящего по средним линиям сечений всех участков магнитной цепи, можно представить суммой

,

(6)

где p - число участков магнитной цепи длиной l, в пределах которых H=const; n - число обмоток, охватываемых средней линией контура, с числом витков w и током I.

Произведение Hl=Uм называется магнитным падением напряжения или магнитным напряжением, а Iw=F является МДС. Пользуясь этими понятиями, можно представить выражение (6) в форме аналогичной второму закону Кирхгофа для электрических цепей

,

(7)

т.е. сумма падений магнитного напряжения вдоль замкнутого контура магнитной цепи равна алгебраической сумме МДС катушек, охватываемых контуром.

Однако следует заметить, что Г.Р.Кирхгоф этот закон не формулировал и он является формальной аналогией.


ЗАДАЧА 3


Другой формальной аналогией законам Кирхгофа, вытекающей из принципа непрерывности магнитного потока, является равенство нулю алгебраической суммы магнитных потоков в узлах магнитной цепи.

Например, если магнитопровод разделяется на части (рис. 3), то разделяется на составляющие Ф1 и Ф2 магнитный поток Ф. Поскольку магнитный поток через любую замкнутую поверхность равен нулю, то окружив разветвление магнитопровода такой произвольной поверхностью получим

(8)

Первая запись соответствует некоторому соглашению о знаках магнитных потоков. Например, можно считать потоки направленные к узлу положительными, а от узла отрицательными. Вторая запись объединяет в левую и правую части равенства потоки с одинаковой ориентацией.

Следует заметить, что выражение (8) справедливо только при условии, что магнитный поток не ответвляется через боковые поверхности магнитопровода в окружающую среду.


Понятие магнитного сопротивления можно использовать для расчетов магнитных цепей с ферромагнетиками только в том случае, если вещество ненасыщено, т.к. в противном случае входящее в него значение магнитной проницаемости m зависит от Ф.

Если разбить магнитную цепь (рис 2 а)) на участки с одинаковой площадью поперечного сечения и веществом, то каждый такой участок можно представить магнитным сопротивлением в соответствии с выражением (5). Катушку с током I можно представить МДС равной F=Iw.

В результате этих преобразований, исходная магнитная цепь будет представлена электрической схемой замещения (рис. 2 б)), в которой роль токов будут играть магнитные потоки на соответствующих участках. К этой схеме формальной можно применить все законы и методы расчета электрических цепей.


ЗАДАЧА 4


При расчете магнитной цепи с ферромагнетиком в общем случае нужно иметь данные о геометрических размерах и материале магнитопровода. Задача расчета может формулироваться в двух вариантах, называемых прямой и обратной задачей. В первом случае по заданному на каком-либо участке магнитному потоку или индукции нужно определить МДС, необходимую для создания этого потока. В обратной задаче по заданной МДС нужно определить магнитный поток или индукцию на каком-либо участке.

Обратная задачи существенно отличаются от прямой, т.к. может быть решена только методом последовательных приближений.

При расчетах магнитных цепей обычно делают следующие допущения:


Рассмотрим магнитную цепь, приведенную на рис. 4 а). Пусть для этой цепи требуется определить МДС обмотки, обеспечивающую в воздушном зазоре cd магнитный поток с плотностью Bcd =1,5 Тл. Геометрические размеры магнитопровода приведены в таблице 1.

Потоком рассеяния мы пренебрегаем и считаем, что весь магнитный поток замыкается по магнитопроводу из ферромагнетика, кривая намагничивания которого приведена на рис. 4 б).

Разобьем магнитопровод на участки с одинаковыми площадями поперечного сечения, что обеспечит выполнение условия H=const в пределах каждого участка.

По заданной площади поперечного сечения магнитопровода на участках bc и de найдем значение магнитного потока в зазоре как Ф = Bcd Scd = 1,5Ч 1,0Ч 10-4 = 1,5Ч 10-4 Вб.

Для участков bc и de, имеющих сечение равное воздушному зазору, плотность магнитного потока будет равна заданной плотности в зазоре, а для участков ab , ef и af определим плотность как отношение потока Ф к площади поперечного сечения соответствующего участка.

Для воздушного зазора магнитная проницаемость m является константой. Поэтому для любого воздушного промежутка напряженность магнитного поля H в А/м однозначно определяется через индукцию (плотность магнитного потока) B в Тл в виде

.

Далее для всех участков магнитопровода по значению плотности магнитного потока B с помощью кривой намагничивания рис. 4 б) определим напряженность магнитного поля H и, умножив ее на длины соответствующих участков найдем падения магнитного напряжения. Результаты этих вычислений сведены в таблицу.

Таблица 1.

Участок

S

ґ 10-42]

L

ґ 10-3 [м]

B=Ф/S

[Тл]

H

[А/м]

Hl=Uм

[А]

ab

1,5

50

1,0

700

35

bc

1,0

" 40

1,5

1500

60

cd

 

1

1,5

1,2Ч 106

1200

de

1,0

40

1,5

1500

60

ef

1,5

50

1,0

700

35

fa

1,5

80

1,0

700

56

Iw=

1460

Таким образом, для создания магнитного потока плотностью в 1,5 Тл в воздушном зазоре толщиной в 1 мм нужна обмотка, в которой произведение силы тока на число витков равно 1460 АЧ витков. Причем, как следует из таблицы 1, на проведение потока по всему магнитопроводу с длиной средней линии 260 мм требуется только 18% МДС, а остальные 82% необходимы для создания потока в воздушном зазоре, т.е. воздушный зазор определяет необходимую минимальную МДС.


ЗАДАЧА 5


Обратная задача расчета магнитной цепи, т.е. определение магнитного потока или индукции по заданному значению МДС обмотки, решается методом последовательных приближений, когда произвольно задаются значением искомого магнитного потока и решают прямую задачу, находя соответствующую МДС. Если она не соответствует заданной, изменяют значение потока и снова решают прямую задачу. Итерационный процесс повторяют до получения удовлетворительного совпадения расчетной МДС с заданной.

Решим задачу определения индукции в воздушном зазоре магнитной цепи рис. 4 а) при МДС катушки равной 1000 А. Результаты расчетов, начиная с индукции 1,0 Тл с шагом 0,1 приведены в таблице 2.

Таблица 2.

B

[Тл]

Ф

ґ 10-4[Вб]

Ucd

[А]

Ubafe

[А]

Ubc

[А]

F

[А]

1,0

0,66(6)

800

45

24

869

1,1

0,73(3)

880

54

36

970

1,2

0,8

920

61

40

1021

Аппроксимируя интервал между 1,1 и 1,2 Тл, получим для МДС 1000 А плотность магнитного потока 1,158 Тл.