Опр. 1
Теоремы
6.5.2. Обратный оператор
Пусть А – линейный оператор. Будем
говорить, что А имеет обратный, если для каждого 
существует точно одно 
,
такое что 
.
При этом под обратным понимается оператор с областью определения 
и множество значений D(A), заданный соотношением 
где .
Вопрос существования обратного оператора – это вопрос об условиях разрешимости операторного уравнения
 . |
(2) |
В конечномерном случае эти условия формулировала альтернатива Фредгольма.
1. Теорема Фредгольма (альтернатива).
Если уравнение
имеет только тривиальное решение, то уравнение (2) разрешимо
единственным образом при любой правой части.
2. Теорема Фредгольма.
Если уравнение
имеет нетривиальное решение, то (2) разрешимо (заведомо не единственным
образом) тогда и только тогда, когда 
ортогональна всем решениям сопряженной однородной задачи.