Опр.1

 

Опр. 2

 

Теорема

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.2. Принцип сжимающих отображений

Ряд вопросов, связанных с существованием и единственностью решений уравнений того или иного типа (например, дифференциальных или алгебраических уравнений), можно сформулировать в виде вопроса о существовании и единственности неподвижной точки при некотором отображении соответствующего метрического пространства в себя. Среди различных критериев существования и единственности неподвижной точки при такого рода отображениях один из простейших и в то же время наиболее важных – так называемый принцип сжимающих отображений.

Отображение A метрического пространства M в себя называется сжимающим отображением (сжатием), если существует такое число , что для любых двух точек выполняется неравенство

. (1)

Точка x называется неподвижной точкой отображения A, если Ax=x. Иначе говоря, неподвижные точки – это решения уравнения Ax=x.

Теорема. (Принцип сжимающих отображений).

Всякое сжимающее отображение, определенное в полном метрическом пространстве M, имеет одну и только одну неподвижную точку.

Доказательство.

Пусть -произвольная точка в M. Положим Покажем, что последовательность фундаментальная. Действительно, считая для определенности , имеем

Так как , то при достаточно большом n эта величина сколь угодно мала. В силу полноты M последовательность , будучи фундаментальной, имеет предел.

Положим .

Если , то в силу (1) . Поэтому

.

Итак, существование неподвижной точки доказано. Докажем ее единственность.

Если , то (1) принимает вид

.

Так как , отсюда следует, что

.

Теорема доказана.

Пример.

6.2.1. Пусть f – функция, определенная на отрезке [a,b] и удовлетворяющая условию Липшица

с константой K<1. Пусть f отображает отрезок [a,b] в себя. Тогда f есть сжимающее отображение и, согласно доказанной теореме, последовательность

сходится к единственному корню уравнения . В частности, условие сжимаемости выполнено, если функция дифференцируема и .

- получили одно решение в точке 0, так как в точке 1 нарушается сжимаемость, т.е. замкнутое изображение не сжимающее.

Сжимаемости нет, так как при каждой итерации расстояние увеличивается.

<<назад главная страница вперед>>