2.
Уравнение теплопроводности
2.1.
Метод разделения переменных для конечного стержня
Уравнение теплопроводности относится к уравнениям
параболического типа.
Уравнение теплопроводности
имеет вид:
 ,

- температура стержня в точке
в момент времени ,

- связано с коэффициентами теплоемкости и теплопроводности.
Рассмотрим однородный стержень
длины ,
теплоизолированный с боков и достаточно тонкий, чтобы в любой момент времени
температуру во всех точках поперечного сечения можно было считать одинаковой
(см. рисунок 1).
Для выделения единственного решения уравнения
теплопроводности необходимо к уравнению присоединить начальные и граничные
условия. Для задач этого типа задается
только одно начальное условие, а именно,
начальная температура в начальный момент времени. Итак,
 . |
(1) |
Краевые условия:
 ,
|
(2)
(3)
|
где -начальное
распределение температуры в стержне.
Концы стержня закреплены в
термостате. В данном случае тепловая энергя стержня не сохраняется, так
как система не является изолированной.
Будем искать решение в виде произведения
двух функций
 
где X(x)- функция только переменного
x,
а
T(t)- функция только переменного t.


, так как левая часть равенства зависит только
от t, а правая – только от x. Отсюда следует,
что

Граничные условия (3) дают:
X(0)=0
, X( )=0,
тогда
  |
(4)
(5)
(6)
|
Необходимо определить знак .
1 случай: Пусть
.
Рассмотрим уравнение (4):

.
Характеристическое уравнение имеет вид:

.
Рассмотрим уравнение (5):

.
Характеристическое уравнение имеет вид:

 . |
(7) |
Это решение не подходит, так как если ,то
,
а поэтому нарушается второй закон термодинамики, то есть происходит передача
энергии от холодного к горячему. Докажем это математически, подставив
начальные условия (6) в (7):
 
Значит
или ,
но тогда мы получаем тривиальное решение и не можем удовлетворить начальным
условиям. Следовательно, при
уравнение (1) имеет только нулевое решение.
2 случай:
Пусть ,
тогда
,
следовательно, .
,
следовательно, .
Подставим краевые условия
,
получим .
В итоге получим нулевое решение ,
а значит
не подходит.
3 случай:
Пусть
и ,
тогда

.
Характеристическое уравнение имеет вид:

Общее решение может быть записано в виде:
 . |
(8) |
Подставим краевые условия.
 .
Получаем
 . |
(9) |
Существуют нетривиальные решения уравнения
(5), равные
 . |
(10) |
Этим значениям
соответствуют решения уравнения (4)
 ,
где
- неопределенный пока коэффициент.
  |
- общее решение. |
Удовлетворим начальным условиям (2):

.
Для выполнения этого начального условия необходимо взять в качестве
коэффициент Фурье:
 .
Для получения ответа необходимо
подставить указанный коэффициент в общее решение задачи.
|