2 КОРРЕЛЯЦИОННЫЕ ФУНКЦИИ И КОГЕРЕНТНОСТЬ

2.1 Распространение взаимной когерентности. Распространение световых волн, функция взаимной когерентности

Пусть u(P,t) - скалярная амплитуда одной компоненты поляризации электрического или магнитного поля, связанная с монохроматическим оптическим сигналом (излучением). В соответствии с принятым в скалярной теории подходом, рассмотрим каждую компоненту независимо. Здесь Р - пространственная координата точки, а параметр t - момент времени. Аналитический сигнал, связанный с u(P,t), имеет вид  где n - частота волны, а U(P,n) - амплитуда фазора.

 Рис.6. Схема распространения излучения

Пусть волна падает слева на неограниченную поверхность. Необходимо найти амплитуду фазора поля в точке Ро  справа от поверхности S через характеристики поля на поверхности S.

В соответствии с принципом Гюйгенса-Френеля справедливо следующее решение

,

где l = с /n - длина волны излучения (с - скорость света); r - расстояние от точки Р1 до точки Р0; q - угол между прямой линией, соединяющей Р0 и Р1 , и  нормалью   к   поверхности S; c(q) – коэффициент  наклона, c(0) = 1 и 0 £ c(q) £ 1.

Как правило, рассмотрение большинства задач ведется в приближении малых углов наклона и поэтому в дальнейшем, мы будем считать этот множитель равным единице.

Принцип Гюйгенса - Френеля можно интерпретировать таким образом. Каждая точка на поверхности S действует как новый вторичный источник сферических волн. Напряженность поля вторичного источника в точке Р1 пропорциональна (jl)-1U(P1,n), и этот источник излучает с амплитудным коэффициентом направленности c(q).

Рис.7. Распространение функции взаимной когерентности

Функция взаимной когерентности. При распространении волны в пространстве ее структура изменяется. Изменяется соответственно и функция взаимной когерентности. Следовательно, можно  говорить  о распространении функции взаимной когерентности. 

Причина эта объясняется тем фактом, что световые волны подчиняются волновому уравнению.
Решение, основанное на принципе Гюйгенса – Френеля. Рассмотрим распространение световой волны с произвольными свойствами когерентности. Дана функция взаимной когерентности G(R1,R2;t) на поверхности å1 и надо найти функцию взаимной когерентности Г(Q1,Q2;t) на поверхности å2. То есть наша цель предсказать результаты интерференционного опыта Юнга на отверстиях Q1 и Q2 если известны результаты интерференционных опытов на всевозможных отверстиях Р1 и Р2.

Рис.8. Процесс распространения функции взаимной когерентности

По определению функция взаимной когерентности на поверхности  å2

G(Q1,Q2;t) = < u (Q1 ,t + t)u*(Q2,t) > .

Используя выражение для распространения узкополосного сигнала

запишем выражение для узкополосного сигнала для нашего случая для двух точек Q1 и Q2 поверхности S2

,

Подставив выражение для полей в функцию взаимной когерентности и изменяя порядок выполнения интегрирования и усреднения, получим

.

Среднее по времени в подынтегральном выражении может быть выражено через  функцию взаимной когерентности на поверхности S1, что приводит к основному закону  распространения  взаимной  когерентности

.     

В соответствии с условием квазимонохроматичности (Dw/w<<1) оптическая разность хода должна быть намного меньше длины  когерентности излучения. Опираясь  на это условие, найдем закон распространения излучения для взаимной интенсивности, заметив, что

;            t=0,

а также

.

Подставив это в выражение для распространения взаимной когерентности, при  t=0 получим

.

Это основное выражение, определяющее закон распространения взаимной интенсивности.

Распределение интенсивности на поверхности S2 можно найти, устремив Q1 к Q2 (т.е. точки Q1 и Q2 должны совпасть) в последней формуле и заменив

r1 ®   r1¢,   r2   ® r2¢,         Q1 ® Q1¢ ,       Q2 ® Q2¢ .